Para achar o polinômio de Taylor da função
de grau
em torno do ponto
:
Passo 1: Achar as derivadas até a derivada
.
Passo 2: Achar os valores da função e das derivadas até a derivada
no ponto
:
Passo 3: Achar cada termo do polinômio, com
indo de 0 a
:
Passo 4: Somar todos os termos:
Passo 1: Achar as derivadas até a derivada
Passo 1
O enunciado pede pra construir o polinômio de Taylor de grau
da função
em torno de
. Isso cai na matéria de séries de Taylor e, pra resolver, a gente vai precisar das derivadas de
até a ordem
e dos valores dessas derivadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, a gente calcula todas as derivadas de
até a ordem
:
. Essa etapa é só aplicação das regras de diferenciação (produto, cadeia, etc.).
Em seguida, avalia cada derivada no ponto :
. Isso dá os coeficientes numéricos que vão aparecer no polinômio.
Em seguida, avalia cada derivada no ponto
Passo 3
Depois, monta-se cada termo de ordem
usando a fórmula geral
, para
. Aqui entra o conceito de série de Taylor, que aproxima
por uma soma finita.
Passo 4
Por fim, soma-se todos esses termos pra obter o polinômio de grau
:
. Essa soma é a nossa resposta final.