Para achar o polinômio de Taylor da função f(x) de grau c em torno do ponto x=a :
Passo 1: Achar as derivadas até a derivada c.
f^prime(x), f^prime prime(x), ldots, f^c(x)
Passo 2: Achar os valores da função e das derivadas até a derivada c no ponto x=a :
f^prime(a), f^prime prime(a), ldots, f^c(a)
Passo 3: Achar cada termo do polinômio, com n indo de 0 a c :
f^n(a)(x-a)^nn!
Passo 4: Somar todos os termos:
pc(x)=sumn=0^c f^n(a)(x-a)^nn! pc(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+f^prime prime(a)(x-a)^22!+cdots+f^c(a)(x-a)^cc!

Passo 1

O enunciado pede pra construir o polinômio de Taylor de grau c da função f(x) em torno de x=a. Isso cai na matéria de séries de Taylor e, pra resolver, a gente vai precisar das derivadas de f até a ordem c e dos valores dessas derivadas no ponto a.

Passo 2

Primeiro, a gente calcula todas as derivadas de f até a ordem c: f'(x), f''(x),dots,f^(c)(x). Essa etapa é só aplicação das regras de diferenciação (produto, cadeia, etc.).
Em seguida, avalia cada derivada no ponto x=a: f(a),f'(a),f''(a),dots,f^(c)(a). Isso dá os coeficientes numéricos que vão aparecer no polinômio.

Passo 3

Depois, monta-se cada termo de ordem n usando a fórmula geral f^(n)(a)n!(x-a)^n, para n=0,1,2,dots,c. Aqui entra o conceito de série de Taylor, que aproxima f(x) por uma soma finita.

Passo 4

Por fim, soma-se todos esses termos pra obter o polinômio de grau c: pc(x)=sumn=0^cdfracf^(n)(a)n!(x-a)^n. Essa soma é a nossa resposta final.

Resposta

pc(x)=sumn=0^cf^(n)(a)n!(x-a)^n

Exercícios relacionados