Encontre para as trajetórias espaciais o vetor binormal e a torção.
(b) r(t)=cos ^3 t i+sen^3 t j

Passo 1

O enunciado considera a curva r(t)=cos^3 t,i + sin^3 t,j, que vive no plano xy. Nosso objetivo é achar o vetor binormal B(t) e a torção tau(t) usando as fórmulas de Frenet–Serret. Para isso, vamos precisar de r'(t), r''(t) e das definições:
B(t) = r'(t)times r''(t)|r'(t)times r''(t)|, tau(t) = (r'(t)times r''(t))cdot r'''(t)|r'(t)times r''(t)|^2

Passo 2

Calcular as derivadas de r(t). Tomando z=0, temos
r(t) = (cos^3 t,;sin^3 t,;0),
r'(t) = (-3cos^2 tsin t,;3sin^2 tcos t,;0),
r''(t) = (6sin^2 tcos t - 3cos^3 t,;6sin tcos^2 t - 3sin^3 t,;0)

Passo 3

Calcular o produto vetorial r'(t)times r''(t). Fazendo as contas no determinante de ordem 3, obtemos
r'(t)times r''(t) = (0,;0,;-9cos^2 t,sin^2 t)
Logo,
|r'(t)times r''(t)| = 9cos^2 t,sin^2 t

Passo 4

Encontrar o vetor binormal. Pela definição,
B(t) = r'(t)times r''(t)|r'(t)times r''(t)| = -9cos^2 t,sin^2 t,k9cos^2 t,sin^2 t = -k
Note que B(t) é constante e aponta para -k.

Passo 5

Calcular a torção. Podemos usar a fórmula geral ou observar que, como B(t) é constante, sua derivada em relação ao parâmetro arco é zero, o que implica
tau(t) = 0

Resposta

B(t) = -k, tau(t) = 0

Exercícios relacionados