Uma hélice elíptica tem equações paramétricas x=a cos t, y=b sin t, z=c t com a, b, c>0 e a neq b. Determine a curvatura no ponto (x, y, z).

Passo 1

A questão pede a curvatura de uma hélice elíptica definida por r(t)=(acos t,;bsin t,;c t) com a,b,c>0 e aneq b. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura kappa para curvas no espaço: kappa=dfrac| r'times r''|| r'|^3. Vamos usar essa fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, derivamos a parametrização para obter r'(t) e r''(t). Temos
r'(t)=(-asin t,;bcos t,;c),
r''(t)=(-acos t,;-bsin t,;0)

Passo 3

Em seguida, calculamos o produto vetorial r'times r''. Fazendo a conta do determinante, obtemos
r'(t)times r''(t)=(b csin t,,-a ccos t,,a b)

Passo 4

Agora determinamos o módulo desse vetor:
| r'times r''| =raiz(b csin t)^2+(a ccos t)^2+(a b)^2 =raizc^2l(b^2sin^2t+a^2cos^2tr)+a^2b^2

Passo 5

Também precisamos do módulo de r'(t):
| r'| =raiz(-asin t)^2+(bcos t)^2+c^2 =raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+c^2

Passo 6

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa(t) =| r'times r''|| r'|^3 =raiza^2b^2+c^2(b^2sin^2t+a^2cos^2t)l(a^2sin^2t+b^2cos^2t+c^2r)^3/2

Resposta

A curvatura no ponto correspondente ao parâmetro t é
kappa(t)=raiza^2b^2+c^2l(b^2sin^2t+a^2cos^2tr)l(a^2sin^2t+b^2cos^2t+c^2r)^3/2

Exercícios relacionados