Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
, condicionado a
,
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeitos à restrição
. O conteúdo usado aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para igualar o gradiente de
a um múltiplo do gradiente da restrição.
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
Passo 3
As condições de otimalidade são
Calculando:
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos
e
:
Passo 5
Impondo a restrição
obtemos
Logo
.
Passo 6
Para
temos
Para
vem
Passo 7
Avaliando
em cada ponto:
Portanto
é máximo condicionado e
é mínimo condicionado.
Resposta
Ponto de máximo condicionado:
com
.
Ponto de mínimo condicionado: com
.
Ponto de mínimo condicionado: