Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
f(x, y)=x3+y4, condicionado a x^2+y^2=1,

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=x3+y4 sujeitos à restrição x^2+y^2=1. O conteúdo usado aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para igualar o gradiente de f a um múltiplo do gradiente da restrição.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=x3+y4-lambdal(x^2+y^2-1r)

Passo 3

As condições de otimalidade são
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial lambda=0
Calculando:
partial Lpartial x=13-2lambda x=0, partial Lpartial y=14-2lambda y=0, partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-1)=0

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos x e y:
x=16lambda, y=18lambda

Passo 5

Impondo a restrição x^2+y^2=1 obtemos
l(16lambdar)^2+l(18lambdar)^2=1 Longrightarrow 136lambda^2+164lambda^2=1 Longrightarrow lambda^2=1002304=l(524r)^2
Logo lambda=pm524.

Passo 6

Para lambda=tfrac524 temos
x=16,(5/24)=45, y=18,(5/24)=35
Para lambda=-tfrac524 vem
x=-45, y=-35

Passo 7

Avaliando f em cada ponto:
fl(tfrac45,tfrac35r) =4/53+3/54 =415+320 =2560 =512,
fl(-tfrac45,-tfrac35r) =-512
Portanto l(tfrac45,tfrac35r) é máximo condicionado e l(-tfrac45,-tfrac35r) é mínimo condicionado.

Resposta

Ponto de máximo condicionado: l(tfrac45,tfrac35r) com f=5/12.
Ponto de mínimo condicionado: l(-tfrac45,-tfrac35r) com f=-5/12.

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