Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
, condicionado a
,
Passo 1
O enunciado pede os extremos condicionados de
sujeito à reta
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos usar que, num extremo sob restrição
, vale
além da condição
.
Passo 2
Definimos
e montamos a Lagrangeana
As condições de primeira ordem são
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo
e
na restrição:
Logo
Passo 5
O valor de
nesse ponto é
Passo 6
Como
é a matriz
(positiva definida), o ponto crítico é mínimo global na reta. Não há máximo finito, pois
ao seguir a reta para infinito.
Resposta
O único extremo condicionado é mínimo em
com valor mínimo
. Não existe ponto de máximo porque
cresce sem limite ao longo da reta.