Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
f(x, y)=x^2+y^2, condicionado a x3+y4=1,

Passo 1

O enunciado pede os extremos condicionados de
f(x,y)=x^2+y^2
sujeito à reta
x3+y4=1
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos usar que, num extremo sob restrição g(x,y)=0, vale
nabla f=lambdanabla g,
além da condição g(x,y)=0.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=x3+y4-1
e montamos a Lagrangeana
L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambdal(x3+y4-1r)
As condições de primeira ordem são
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, g(x,y)=0

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partialLpartial x=2x-lambda3=0 Longrightarrow x=lambda6,
partialLpartial y=2y-lambda4=0 Longrightarrow y=lambda8

Passo 4

Substituindo x e y na restrição:
(lambda/6)3+(lambda/8)4=1 Longrightarrow lambda18+lambda32=1 Longrightarrow 16lambda+9lambda288=1 Longrightarrow lambda=28825
Logo
x=288/256=4825, y=288/258=3625

Passo 5

O valor de f nesse ponto é
fl(tfrac4825,tfrac3625r) =l(tfrac4825r)^2+l(tfrac3625r)^2 =2304+1296625 =3600625

Passo 6

Como nabla^2f é a matriz 2I (positiva definida), o ponto crítico é mínimo global na reta. Não há máximo finito, pois f(x,y)to+infty ao seguir a reta para infinito.

Resposta

O único extremo condicionado é mínimo em
l(x,yr)=l(tfrac4825,tfrac3625r),
com valor mínimo f=3600/625. Não existe ponto de máximo porque f cresce sem limite ao longo da reta.

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