Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral0^1 integralx^raizx e^yy d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<=raizx
e calcular a integral iterada
integral0^1!integraly=x^y=raizxe^yy,dy,dx
O conteúdo principal é troca de ordem de integração.

Passo 2

Vamos entender R no plano xy. As duas curvas que limitam y são
,y=x e ,y=raizx. Observe que y=raizx equivale a x=y^2.
Para que x<=1 e x<= y<=raizx seja possível, precisamos de y^2<= y, ou seja 0<= y<=1.

Passo 3

Dessa forma podemos reescrever
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y^2<= x<= y
No esboço, trata-se da região entre a parábola x=y^2 (à esquerda) e a reta x=y (à direita), para y entre 0 e 1.

Passo 4

Trocando a ordem de integração, temos
integral0^1!integralx^raizxe^yy,dy,dx =integraly=0^1!integralx=y^2^x=ye^yy,dx,dy

Passo 5

Integral interna em x:
integralx=y^2^x=ye^yy,dx =e^yyl[y - y^2r] =(1-y),e^y
Logo a integral vira
integral0^1(1-y)e^y,dy

Passo 6

Para calcular
integral0^1(1-y)e^y,dy
separamos em
integral0^1e^y,dy ;-;integral0^1y,e^y,dy
Temos integral0^1e^y,dy=e-1 e, por integração por partes,
integral0^1y,e^y,dy =l[y,e^yr]0^1-integral0^1e^y,dy =e-(e-1)=1
Portanto
integral0^1(1-y)e^y,dy =(e-1)-1 =e-2

Resposta

e - 2

Exercícios relacionados