Usando o teste da segunda derivada, localize e classifique os pontos críticos das funções
f(x, y)=3 x-x^3-2 y^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=3x - x^3 - 2y^2 + y^4
usando o teste da segunda derivada. Vamos precisar (i) encontrar as soluções nabla f=0 e (ii) calcular as derivadas segundas fxx,fyy,fxy para avaliar o determinante da Hessiana em cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x = 3 - 3x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1,
fy = partial fpartial y = -4y + 4y^3 = 4y(y^2 - 1) = 0 Longrightarrow y = 0,;pm 1
Logo, os pontos críticos são
(pm 1,0),(pm 1,1),(pm 1,-1)

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -6x, fyy = partial^2 fpartial y^2 = -4 + 12y^2, fxy = partial^2 fpartial xpartial y = 0
O determinante da Hessiana é
D(x,y) = fxx,fyy - (fxy)^2 = l(-6xr)l(-4 + 12y^2r)

Passo 4

Avaliamos fxx, fyy e D em cada ponto crítico:
1. Em (1,0):
fxx=-6, fyy=-4, D = (-6)(-4)=24>0
Como D>0 e fxx<0, é ponto de máximo local.
2. Em (1,1):
fxx=-6, fyy=-4+12=8, D = (-6)(8)=-48<0
Como D<0, é ponto de sela.
3. Em (1,-1): mesmo cálculo de (1,1) D<0, ponto de sela.
4. Em (-1,0):
fxx=6, fyy=-4, D = 6cdot(-4)=-24<0,
ponto de sela.
5. Em (-1,1):
fxx=6, fyy=8, D = 6cdot8=48>0,
D>0 e fxx>0 Rightarrow mínimo local.
6. Em (-1,-1): mesmo de (-1,1), D>0 e fxx>0 Rightarrow mínimo local.

Resposta

Máximo local em (1,0).
Mínimos locais em (-1,1) e (-1,-1).
Pontos de sela em (1,1), (1,-1) e (-1,0).

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