Achar os pontos sobre a curva
mais próximos do ponto
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. A ideia é descobrir quais são os pontos na curva
que estão mais próximos do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos e otimização. Vamos passo a passo entender como achar esses pontos mais próximos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na distância entre dois pontos no plano. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos
e
é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer
na curva
e o ponto
. Então, substituímos na fórmula:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, em vez de trabalhar com a distância
, vamos trabalhar com o quadrado da distância
. Isso evita a raiz quadrada e simplifica a derivação. Então temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de
que minimizam
. Para fazer isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivando
em relação a
e igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os possíveis valores de
:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Agora, temos três valores de
:
,
e
. Vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da curva
:
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é.
Passo 7
Por último, vamos verificar qual desses pontos realmente minimiza a distância. Observando que
:
-
Para
: -
Para
:
Como
, os pontos
e
são os mais próximos de
.
Resposta
Os pontos sobre a curva
mais próximos do ponto
são
e
.