Achar os pontos sobre a curva y = x^2 mais próximos do ponto P = (0,2).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. A ideia é descobrir quais são os pontos na curva que estão mais próximos do ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos e otimização. Vamos passo a passo entender como achar esses pontos mais próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distância entre dois pontos no plano. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva e o ponto . Então, substituímos na fórmula:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, em vez de trabalhar com a distância , vamos trabalhar com o quadrado da distância . Isso evita a raiz quadrada e simplifica a derivação. Então temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de que minimizam . Para fazer isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivando em relação a e igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os possíveis valores de :
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora, temos três valores de : , e . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da curva :
  1. Para :
    Então, o ponto é .
  2. Para :
    Então, o ponto é .
  3. Para :
    Então, o ponto é .

Passo 7

Por último, vamos verificar qual desses pontos realmente minimiza a distância. Observando que :
  • Para :
  • Para :
Como , os pontos e são os mais próximos de .

Resposta

Os pontos sobre a curva mais próximos do ponto são e .

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