Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral indefinida de
usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente trabalhando com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica e como aplicá-la para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração:
. Podemos reescrever isso como
, o que nos lembra a forma
. Esse tipo de expressão é útil para substituição trigonométrica porque se encaixa na identidade
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para substituir
na integral:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Substituindo
:
Simplificando o denominador:
Sabemos que
:
Simplificando:
E sabemos que
:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Da substituição que fizemos:
Sabendo que
, e
:
Substituindo de volta: