Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(g) integral 19 x^2-49 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral indefinida de usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente trabalhando com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica e como aplicá-la para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: . Podemos reescrever isso como , o que nos lembra a forma . Esse tipo de expressão é útil para substituição trigonométrica porque se encaixa na identidade .

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Vamos definir:
3x = 7 sec theta
Isso significa que:
x = 73 sec theta
Agora, calculamos a derivada de dx = 73 sec theta tan theta , dtheta em relação a para substituir na integral:

Passo 4

Substituindo integral 19x^2 - 49 , dx = integral 1(3x)^2 - 7^2 cdot 73 sec theta tan theta , dtheta e = integral 149 sec^2 theta - 49 cdot 73 sec theta tan theta , dtheta na integral original:
= integral 149 (sec^2 theta - 1) cdot 73 sec theta tan theta , dtheta
Substituindo = integral 149 tan^2 theta cdot 73 sec theta tan theta , dtheta :
= integral 73 cdot 49 cdot sec thetatan theta , dtheta = integral 121 cdot sec thetatan theta , dtheta
Simplificando o denominador:
= 121 integral cos theta , dtheta = 121 sin theta + C
Sabemos que :
Simplificando:
E sabemos que :

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original 3x = 7 sec theta Rightarrow sec theta = 3x7 Rightarrow theta = sec^-1(3x7) . Da substituição que fizemos:
sin theta = raiz1 - (73x)^2 = raiz9x^2 - 493x
Sabendo que 121 sin theta + C = 121 cdot raiz9x^2 - 493x + C = raiz9x^2 - 4963x + C , e :
Substituindo de volta:

Resposta

integral 19x^2 - 49 , dx = raiz9x^2 - 4963x + C

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