Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um rendimento semanal de R por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em por cada peça a mais. Determine o maior rendimento semanal da indústria.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma indústria que produz peças e gera um rendimento por cada peça vendida. Se a produção está entre 200 e 230 unidades, cada peça rende R$ 540,00. Mas se a produção passar de 230 peças, o rendimento por peça diminui R$ 2,00 para cada peça a mais produzida. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior rendimento semanal que a indústria pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é rendimento total. O rendimento total é o quanto a indústria ganha por semana, que depende de quantas peças ela produz. Para calcular isso, a gente multiplica o número de peças produzidas pelo rendimento por peça.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
  • é o rendimento total,
  • é o número de peças produzidas,
  • é o rendimento por peça.

Passo 3

Agora, vamos analisar duas situações diferentes: quando a produção está entre 200 e 230 peças e quando é acima de 230 peças.
  1. Produção entre 200 e 230 peças:
    Nessa faixa, o rendimento por peça é fixo, ou seja, .
    Então, o rendimento total vai ser:
  2. Produção acima de 230 peças:
    Aqui, o rendimento por peça diminui R$ 2,00 para cada peça a mais que acima de 230. Então, se produzirmos peças, onde , o rendimento por peça vai ser:
    E o rendimento total fica:

Passo 4

Vamos focar na segunda situação, onde , porque é aí que temos a variável diminuir e podemos encontrar o ponto máximo do rendimento.
A função de rendimento total para fica:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o máximo dessa função, precisamos derivar em relação a e igualar a zero. Isso porque no ponto máximo, a taxa de variação (derivada) é zero.
Vamos derivar :
Igualando a derivada a zero:

Passo 6

Agora, vamos verificar se esse ponto realmente corresponde a um máximo.
Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar os sinais da derivada. Vamos usar aqui a segunda derivada.
A segunda derivada de é:
Como é negativa, isso significa que a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que é um ponto de máximo.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o rendimento máximo.
Substituindo na função de rendimento total:

Resposta

O maior rendimento semanal da indústria é de R$ 125.000,00.

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