Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um rendimento semanal de
por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em
por cada peça a mais. Determine o maior rendimento semanal da indústria.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma indústria que produz peças e gera um rendimento por cada peça vendida. Se a produção está entre 200 e 230 unidades, cada peça rende R$ 540,00. Mas se a produção passar de 230 peças, o rendimento por peça diminui R$ 2,00 para cada peça a mais produzida. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior rendimento semanal que a indústria pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é rendimento total. O rendimento total é o quanto a indústria ganha por semana, que depende de quantas peças ela produz. Para calcular isso, a gente multiplica o número de peças produzidas pelo rendimento por peça.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é o rendimento total, -
é o número de peças produzidas, -
é o rendimento por peça.
Passo 3
Agora, vamos analisar duas situações diferentes: quando a produção está entre 200 e 230 peças e quando é acima de 230 peças.
-
Produção entre 200 e 230 peças:
Nessa faixa, o rendimento por peça é fixo, ou seja,. Então, o rendimento total vai ser: -
Produção acima de 230 peças:
Aqui, o rendimento por peça diminui R$ 2,00 para cada peça a mais que acima de 230. Então, se produzirmospeças, onde , o rendimento por peça vai ser: E o rendimento total fica:
Passo 4
Vamos focar na segunda situação, onde
, porque é aí que temos a variável diminuir e podemos encontrar o ponto máximo do rendimento.
A função de rendimento total para
fica:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o máximo dessa função, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Isso porque no ponto máximo, a taxa de variação (derivada) é zero.
Vamos derivar
:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Agora, vamos verificar se esse ponto
realmente corresponde a um máximo.
Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar os sinais da derivada. Vamos usar aqui a segunda derivada.
A segunda derivada de
é:
Como
é negativa, isso significa que a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que
é um ponto de máximo.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o rendimento máximo.
Substituindo
na função de rendimento total:
Resposta
O maior rendimento semanal da indústria é de R$ 125.000,00.