Com isso, calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Nossa missão é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeira simplificação: usar a paridade do cosseno. O cosseno é função par, isto é,
Aplicando com
obtemos
Portanto o integrando fica
Passo 3
Agora precisamos integrar um produto de cossenos. Uma ferramenta muito útil é a identidade produto-para-soma. Vamos deduzir rapidamente a forma que usamos. As fórmulas de adição para cosseno são
e
Somando as duas equações as parcelas com seno se cancelam e obtemos
Isolando
vem
Passo 4
Aplicamos a identidade com
e
. Assim
Logo a integral se transforma em
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembre que, para constante
,
Isso vem da substituição
,
, que dá
.
Passo 6
Aplicando essa regra aos termos da integral:
e
Passo 7
Somando as primitivas obtidas e lembrando da constante de integração
,
Se quiser, pode colocar em denominador comum:
que é equivalente.