Com isso, calcule as seguintes integrais.
\int \cos (6 x) \cdot \cos (-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(6x)\cdot\cos(-x)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos(6x)\cdot\cos(-x),\qquad \text{variável de integração: }x.áçã
Nossa missão é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeira simplificação: usar a paridade do cosseno. O cosseno é função par, isto é,
\cos(-t)=\cos(t)\quad\text{para todo }t.
Aplicando com t=x obtemos
\cos(-x)=\cos(x).
Portanto o integrando fica
\cos(6x)\cdot\cos(-x)=\cos(6x)\cdot\cos(x).

Passo 3

Agora precisamos integrar um produto de cossenos. Uma ferramenta muito útil é a identidade produto-para-soma. Vamos deduzir rapidamente a forma que usamos. As fórmulas de adição para cosseno são
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
e
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.
Somando as duas equações as parcelas com seno se cancelam e obtemos
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Isolando \cos A\cos B vem
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).

Passo 4

Aplicamos a identidade com A=6x e B=x. Assim
\cos(6x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(6x+x)+\cos(6x-x)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(7x)+\cos(5x)\bigr).
Logo a integral se transforma em
\int \cos(6x)\cos(-x)\,dx=\int \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(7x)+\cos(5x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembre que, para constante k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Isso vem da substituição u=kx, du=k\,dx, que dá \int \cos(u)\,\frac{du}{k}=\frac{1}{k}\sin(u).

Passo 6

Aplicando essa regra aos termos da integral:
\int \tfrac{1}{2}\cos(7x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\sin(7x)=\frac{1}{14}\sin(7x),
e
\int \tfrac{1}{2}\cos(5x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)=\frac{1}{10}\sin(5x).

Passo 7

Somando as primitivas obtidas e lembrando da constante de integração C,
\int \cos(6x)\cos(-x)\,dx=\frac{1}{14}\sin(7x)+\frac{1}{10}\sin(5x)+C.
Se quiser, pode colocar em denominador comum:
\frac{5\sin(7x)+7\sin(5x)}{70}+C,
que é equivalente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{14}\sin(7x)+\frac{1}{10}\sin(5x)+C

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