Com isso, calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}(5 x) \cdot \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \sin(5x)\cdot\cos(3x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas, \sin(5x) e \cos(3x). Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve incluir uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: quando vemos um produto de seno e cosseno com argumentos diferentes, uma maneira simples é usar identidades trigonométricas que transformam produto em soma (identidades “produto-para-soma”). Isso facilita porque integrar soma de senos ou cossenos é direto. Vou usar essa técnica pois é a mais curta e segura na prova.

Passo 3

Lembrete/derivação da identidade produto-para-soma que usaremos. As fórmulas de soma e diferença de seno são:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b
Se somarmos as duas equações obtemos:
\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.
Isolando o produto:
\sin a\cos b=\tfrac{1}{2}\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big).
Essa é a identidade que transforma produto em soma.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=5x e b=3x temos
\sin(5x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x+3x)+\sin(5x-3x)\big).
Isso dá
\sin(5x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(8x)+\sin(2x)\big).

Passo 5

Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
\int \sin(5x)\cos(3x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int\big(\sin(8x)+\sin(2x)\big)\,dx.
Regra útil: para constante k\neq0,
\int \sin(kx)\,dx=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C,
porque pela regra da cadeia a derivada de \cos(kx) é -k\sin(kx), então multiplicando por -1/k obtemos \sin(kx).

Passo 6

Aplicando a fórmula anterior a cada termo:
\tfrac{1}{2}\int\sin(8x)\,dx=\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}\cos(8x)\right)=-\frac{1}{16}\cos(8x),
\tfrac{1}{2}\int\sin(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)=-\frac{1}{4}\cos(2x).
Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 7

Resultado simplificado:
\int \sin(5x)\cos(3x)\,dx=-\tfrac{1}{16}\cos(8x)-\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.

Resposta

-\tfrac{1}{16}\cos(8x)-\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C

Exercícios relacionados