Com isso, calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas,
e
. Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve incluir uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: quando vemos um produto de seno e cosseno com argumentos diferentes, uma maneira simples é usar identidades trigonométricas que transformam produto em soma (identidades “produto-para-soma”). Isso facilita porque integrar soma de senos ou cossenos é direto. Vou usar essa técnica pois é a mais curta e segura na prova.
Passo 3
Lembrete/derivação da identidade produto-para-soma que usaremos. As fórmulas de soma e diferença de seno são:
Se somarmos as duas equações obtemos:
Isolando o produto:
Essa é a identidade que transforma produto em soma.
Passo 4
Aplicando a identidade com
e
temos
Isso dá
Passo 5
Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
Regra útil: para constante
,
porque pela regra da cadeia a derivada de
é
, então multiplicando por
obtemos
.
Passo 6
Aplicando a fórmula anterior a cada termo:
Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva.
Passo 7
Resultado simplificado: