Achar uma primitiva das funções seguintes :
;

Passo 1

O enunciado pede para achar uma primitiva de f(x)=l(e^x+e^-2xr)^2. O conteúdo envolve integração de funções exponenciais e uso da linearidade da integral, além da expansão de um quadrado de soma.

Passo 2

Primeiro vamos expandir o quadrado usando (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Aqui temos
(e^x+e^-2x)^2=e^2x+2e^xe^-2x+e^-4x=e^2x+2e^-x+e^-4x

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade da integral linear:
integral f(x),dx=integral e^2x,dx+2integral e^-x,dx+integral e^-4x,dx

Passo 4

Em seguida, lembramos a fórmula básica integral e^ax,dx=tfrac1ae^ax+C e calculamos cada termo separadamente:
  • integral e^2x,dx=tfrac12e^2x
  • integral e^-x,dx=-e^-x
  • integral e^-4x,dx=-tfrac14e^-4x

Passo 5

Multiplicando o segundo resultado por 2, obtemos -2e^-x.

Passo 6

Juntando as primitivas parciais e incluindo a constante de integração obtemos a primitiva buscada.

Resposta

F(x)=\tfrac{1}{2}e{2x}-2e{-x}-\tfrac{1}{4}e^{-4x}+C

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