Nos exercícios 22 a 29 , calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
28. lx=e^t cos t y=e^t sen t, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica dada por
x(t)=e^tcos t, y(t)=e^tsin t, 1<= t<= 2
Isso está inserido na matéria de comprimento de curvas parametrizadas, onde vamos usar a fórmula
L=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Começamos calculando as derivadas de cada componente:
dxdt=ddt(e^tcos t)=e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t-sin t),
dydt=ddt(e^tsin t)=e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t+cos t)

Passo 3

Agora avaliamos a soma dos quadrados das derivadas e extraímos a raiz:
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 = e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2r] =2,e^2t
Assim,
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 = raiz2,e^2t = raiz2,e^t

Passo 4

Montamos a integral do comprimento e resolvemos:
L=integral1^2raiz2,e^t,dt = raiz2integral1^2e^t,dt =raiz2l[e^tr]1^2 = raiz2(e^2 - e)

Resposta

L=raiz2,(e^2-e)

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