A força em um ponto ( x, y, z ) em três dimensões é dada por F(x, y, z). Ache o trabalho realizado por x=t, y=t^2, z=t^3 ao longo da cúbica (0,0,0) de (1,1,1) a .
[
\left(W=\frac{29}{60} \mathrm{~J}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em 0,0,0) e a curva cúbica parametrizada por 1,1,1) de $0,0,0)$ a $1,1,1)$. Vamos usar a matéria de integrais de linha de campos vetoriais, onde o trabalho é dado por Precisamos parametrizar a trajetória, calcular \(
\mathbf{F}(r(t))) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt), fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Parametrizamos a curva definindo com \(
r’(t)=\Bigl(1,;2t,;3t^2\Bigr)) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt.) Esse passo é essencial para transformar a integral de linha numa integral em \(
t).

Passo 3

Substituímos na força: avaliando \(
\mathbf{F}(x,y,z)) em \(
(t,t2,t3)), temos
$$
\mathbf{F}(r(t))=(t2-t2)\mathbf{i}+(t3-t4)\mathbf{j}+(t-t6)\mathbf{k}=(0,;t3-t4,;t-t6).
$$

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar (0,;t^3-t^4,;t-t^6)cdot(1,;2t,;3t^2)=0cdot1+(t^3-t^4),2t+(t-t^6),3t^2
$$
(0,;t3-t4,;t-t6)\cdot(1,;2t,;3t2)=0\cdot1+(t3-t4),2t+(t-t6),3t2.
$$
Simplificando obtém-se
$$
2t4-2t5+3t3-3t8.
$$

Passo 5

Finalmente, integramos de \(
0) a \(
1):
$$
W=\int_01(3t3+2t4-2t5-3t^8),dt
=\Bigl[\tfrac{3t4}{4}+\tfrac{2t5}{5}-\tfrac{2t6}{6}-\tfrac{3t9}{9}\Bigr]_0^1
=\tfrac{3}{4}+\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}
=\tfrac{29}{60}.
$$

Resposta

O trabalho realizado é $\frac{29}{60}\ \mathrm{J}$.

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