A força em um ponto (
) em três dimensões é dada por
. Ache o trabalho realizado por
ao longo da cúbica
de
a
.
[
\left(W=\frac{29}{60} \mathrm{~J}\right)
\left(W=\frac{29}{60} \mathrm{~J}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial em
e a curva cúbica parametrizada por
de $0,0,0)$ a $1,1,1)$. Vamos usar a matéria de integrais de linha de campos vetoriais, onde o trabalho é dado por
Precisamos parametrizar a trajetória, calcular \(
\mathbf{F}(r(t))) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt), fazer o produto escalar e integrar.
\mathbf{F}(r(t))) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt), fazer o produto escalar e integrar.
Passo 2
Parametrizamos a curva definindo
com \(
r’(t)=\Bigl(1,;2t,;3t^2\Bigr)) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt.) Esse passo é essencial para transformar a integral de linha numa integral em \(
t).
r’(t)=\Bigl(1,;2t,;3t^2\Bigr)) e \(
d\mathbf{r}=r’(t)dt.) Esse passo é essencial para transformar a integral de linha numa integral em \(
t).
Passo 3
Substituímos na força: avaliando \(
\mathbf{F}(x,y,z)) em \(
(t,t2,t3)), temos
\mathbf{F}(x,y,z)) em \(
(t,t2,t3)), temos
$$
\mathbf{F}(r(t))=(t2-t2)\mathbf{i}+(t3-t4)\mathbf{j}+(t-t6)\mathbf{k}=(0,;t3-t4,;t-t6).
$$
\mathbf{F}(r(t))=(t2-t2)\mathbf{i}+(t3-t4)\mathbf{j}+(t-t6)\mathbf{k}=(0,;t3-t4,;t-t6).
$$
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar
$$
(0,;t3-t4,;t-t6)\cdot(1,;2t,;3t2)=0\cdot1+(t3-t4),2t+(t-t6),3t2.
$$
(0,;t3-t4,;t-t6)\cdot(1,;2t,;3t2)=0\cdot1+(t3-t4),2t+(t-t6),3t2.
$$
Simplificando obtém-se
$$
2t4-2t5+3t3-3t8.
$$
2t4-2t5+3t3-3t8.
$$
Passo 5
Finalmente, integramos de \(
0) a \(
1):
0) a \(
1):
$$
W=\int_01(3t3+2t4-2t5-3t^8),dt
=\Bigl[\tfrac{3t4}{4}+\tfrac{2t5}{5}-\tfrac{2t6}{6}-\tfrac{3t9}{9}\Bigr]_0^1
=\tfrac{3}{4}+\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}
=\tfrac{29}{60}.
$$
W=\int_01(3t3+2t4-2t5-3t^8),dt
=\Bigl[\tfrac{3t4}{4}+\tfrac{2t5}{5}-\tfrac{2t6}{6}-\tfrac{3t9}{9}\Bigr]_0^1
=\tfrac{3}{4}+\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}
=\tfrac{29}{60}.
$$
Resposta
O trabalho realizado é $\frac{29}{60}\ \mathrm{J}$.