Achar uma representação por meio de séries de potências centrada em
, das seguintes funções
em potências de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação da função
por meio de séries de potências, centrada em
e usando potências de
. Isso significa que vamos expandir a função em uma série onde cada termo tem
elevado a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. A gente nota que o denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado:
Então, podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, o objetivo é expressar
em termos de
. Para isso, vamos substituir
por
onde
. Isso facilita a expansão em série de potências centrada em
.
Passo 4
Fazendo a substituição, temos:
Agora, nossa função está em termos de
, que é
.
Passo 5
Para expandir
em série de potências, vamos usar frações parciais. Vamos escrever:
Resolvendo para A e B, encontramos que:
Então:
Passo 6
Agora, vamos expandir cada termo em série geométrica. Lembrando que:
Vamos manipular os termos para encaixar nessa fórmula.
Passo 7
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Passo 8
Juntando os dois termos, temos:
Essa é a representação em série de potências centrada em
, usando potências de
.
Resposta
A representação por meio de séries de potências centrada em
é: