Achar uma representação por meio de séries de potências centrada em x = a, das seguintes funções
f(x) = 1/(x^2 + 3x + 2) em potências de x + 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação da função por meio de séries de potências, centrada em e usando potências de . Isso significa que vamos expandir a função em uma série onde cada termo tem elevado a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . A gente nota que o denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado:
Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, o objetivo é expressar em termos de . Para isso, vamos substituir por onde . Isso facilita a expansão em série de potências centrada em .

Passo 4

Fazendo a substituição, temos:
Agora, nossa função está em termos de , que é .

Passo 5

Para expandir em série de potências, vamos usar frações parciais. Vamos escrever:
Resolvendo para A e B, encontramos que:
Então:

Passo 6

Agora, vamos expandir cada termo em série geométrica. Lembrando que:
Vamos manipular os termos para encaixar nessa fórmula.

Passo 7

Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:

Passo 8

Juntando os dois termos, temos:
Essa é a representação em série de potências centrada em , usando potências de .

Resposta

A representação por meio de séries de potências centrada em é:

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