Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada:
Isso significa que já temos uma solução
e precisamos achar outra solução independente dessa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Redução de Ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem e queremos encontrar a segunda solução. A ideia é assumir que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Distribuindo e agrupando os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Podemos dividir toda a equação por
(já que
):
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 7
Vamos fazer a substituição
. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver.
Passo 8
Reescrevendo a equação:
Para resolver, encontramos o fator integrante:
Passo 9
Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
Isso implica que:
Integrando ambos os lados:
Passo 10
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Como queremos uma solução não trivial, podemos considerar
e
:
Passo 11
Agora, voltamos à expressão de
:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é: