Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(f) x y'' - (2 x + 1) y' + (x + 1) y = 0 , x > 0 , y1(x) = e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada:
Isso significa que já temos uma solução e precisamos achar outra solução independente dessa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Redução de Ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem e queremos encontrar a segunda solução. A ideia é assumir que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Distribuindo e agrupando os termos:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Podemos dividir toda a equação por (já que ):
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 7

Vamos fazer a substituição . Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver.

Passo 8

Reescrevendo a equação:
Para resolver, encontramos o fator integrante:

Passo 9

Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
Isso implica que:
Integrando ambos os lados:

Passo 10

Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Como queremos uma solução não trivial, podemos considerar e :

Passo 11

Agora, voltamos à expressão de :

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

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