Considere a equação diferencial
x * y'' - (x + n) * y' + n * y = 0
Estude os casos n = 1 e n = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial:
Nos pedem para estudar os casos quando n = 1 e n = 2. Isso envolve entender como resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e talvez usar substituições para simplificar a equação. Vamos resolver cada caso passo a passo!

Passo 2

Caso 1:
Primeiro, substituímos n por 1 na equação:
Nosso objetivo é encontrar uma solução para y que satisfaça essa equação. Vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos dividir toda a equação por x (assumindo que x != 0) para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x. Para resolver isso, vamos procurar uma solução por meio de uma substituição que reduza a ordem da equação.

Passo 4

Vamos usar a técnica de redução de ordem. Primeiro, assumimos que uma solução particular já está encontrada. Para simplificar, suponha que (esta é uma suposição que testamos e que, neste caso, funciona).
Agora, para encontrar a segunda solução , usamos:
Aqui, P(x) é o coeficiente de na equação padronizada. No nosso caso, .

Passo 5

Calculando :
Então,
Agora, calculamos:
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a função especial conhecida como a Função Exponencial Integral.

Passo 6

Portanto, a solução geral para n = 1 é:
Onde e são constantes de integração, e é a função exponencial integral.

Passo 7

Caso 2:
Agora, vamos substituir n por na equação original:
Da mesma forma que fizemos para n = 1, vamos tentar simplificar e resolver essa equação.

Passo 8

Dividindo toda a equação por x:
Novamente, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o mesmo método de redução de ordem.

Passo 9

Assumimos que uma solução particular é conhecida. Vamos supor que (testamos e funciona).
Para encontrar a segunda solução , usamos a fórmula de redução de ordem:
Aqui, .

Passo 10

Calculando :
Então,
Agora, calculamos:
Essa integral também não tem solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a Função Exponencial Integral.

Passo 11

Portanto, a solução geral para n = 2 é:
Onde e são constantes de integração.

Resposta

Resumindo, as soluções gerais para a equação diferencial dada são:
  • Para :
  • Para :
Onde e são constantes de integração, e representa a função exponencial integral.

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