Considere a equação diferencial
Estude os casos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial:
Nos pedem para estudar os casos quando
e
. Isso envolve entender como resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e talvez usar substituições para simplificar a equação. Vamos resolver cada caso passo a passo!
Passo 2
Caso 1:
Primeiro, substituímos
por
na equação:
Nosso objetivo é encontrar uma solução para
que satisfaça essa equação. Vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos dividir toda a equação por
(assumindo que
) para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver isso, vamos procurar uma solução por meio de uma substituição que reduza a ordem da equação.
Passo 4
Vamos usar a técnica de redução de ordem. Primeiro, assumimos que uma solução particular
já está encontrada. Para simplificar, suponha que
(esta é uma suposição que testamos e que, neste caso, funciona).
Agora, para encontrar a segunda solução
, usamos:
Aqui,
é o coeficiente de
na equação padronizada. No nosso caso,
.
Passo 5
Calculando
:
Então,
Agora, calculamos:
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a função especial conhecida como a Função Exponencial Integral.
Passo 6
Portanto, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes de integração, e
é a função exponencial integral.
Passo 7
Caso 2:
Agora, vamos substituir
por
na equação original:
Da mesma forma que fizemos para
, vamos tentar simplificar e resolver essa equação.
Passo 8
Dividindo toda a equação por
:
Novamente, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o mesmo método de redução de ordem.
Passo 9
Assumimos que uma solução particular
é conhecida. Vamos supor que
(testamos e funciona).
Para encontrar a segunda solução
, usamos a fórmula de redução de ordem:
Aqui,
.
Passo 10
Calculando
:
Então,
Agora, calculamos:
Essa integral também não tem solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a Função Exponencial Integral.
Passo 11
Portanto, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Resposta
Resumindo, as soluções gerais para a equação diferencial dada são:
-
Para
: -
Para
:
Onde
e
são constantes de integração, e
representa a função exponencial integral.