Use o método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do problema de valor inicial dado.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes quando o lado direito é uma função conhecida, como exponenciais, polinômios, senos ou cossenos. Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, temos:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Observamos que o lado direito é a soma de duas exponenciais. Vamos buscar uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes das exponenciais:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea (
) com a solução particular (
):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.