Use o método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do problema de valor inicial dado.
(e) y'' + 3y' + 2y = e^x + e^(2x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes quando o lado direito é uma função conhecida, como exponenciais, polinômios, senos ou cossenos. Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, temos:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Observamos que o lado direito é a soma de duas exponenciais. Vamos buscar uma solução particular da forma:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes das exponenciais:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea ( ) com a solução particular ( ):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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