Achar uma representação em série de potencias para:
g(x)=\frac{1}{1+2 x}\\

Passo 1

O enunciado pede uma expansão em série de potências de
g(x)=\frac{1}{1+2x}
ou seja, queremos escrever g(x) como
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
O conteúdo principal é usar a série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n\quad\text{para }|r|<1.

Passo 2

Reescrevemos g(x) de modo a usar a forma \tfrac1{1-r}:
g(x)=\frac{1}{1+2x}=\frac{1}{1-(-2x)}.
Aqui identificamos r=-2x.

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica com r=-2x, obtemos
\frac{1}{1-(-2x)} =\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n x^n.

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é |r|<1, ou seja
|-2x|<1 \qquad\Longrightarrow\qquad |x|<\tfrac12.

Resposta

\frac{1}{1+2x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n x^n, \qquad \text{válida para }|x|<\tfrac12.á

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