Para cada série dada abaixo, determine: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define a função f^{\prime} seu raio de convergência; (c) o domínio de f^{\prime} : f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
e pede: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define f' e seu raio de convergência; (c) o domínio de f'. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão a um termo geral
logo o raio de convergência de f' é R'=\infty e o domínio de f' é \mathbb{R}.
Resposta
(a) R=\infty, domínio de f é \mathbb{R}.\n(b) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, raio de convergência R'=\infty.\n(c) domínio de f' é \mathbb{R}.