Para cada série dada abaixo, determine: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define a função f^{\prime} seu raio de convergência; (c) o domínio de f^{\prime} :
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida pela série
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
e pede: (a) o raio de convergência e o domínio de f; (b) a série de potências que define f' e seu raio de convergência; (c) o domínio de f'. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão a um termo geral
a_n = (-1)^{n-1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\,\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{(2n+3)(2n+2)}=0.
Como esse limite é menor que 1 para todo x, o raio de convergência é R=\infty e o domínio de f é \mathbb{R}.

Passo 3

Diferenciando termo a termo, obtemos
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2n+1)\,x^{2n}}{(2n+1)!} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Essa é a série de potências que define f'.

Passo 4

Repetindo o teste da razão para o termo geral
b_n = (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!},
temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{(2n+2)(2n+1)}=0,
logo o raio de convergência de f' é R'=\infty e o domínio de f' é \mathbb{R}.

Resposta

(a) R=\infty, domínio de f é \mathbb{R}.\n(b) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, raio de convergência R'=\infty.\n(c) domínio de f' é \mathbb{R}.

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