Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=7 x^{2}+5 x+3;

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
y''+3y'+5y=7x^{2}+5x+3.
O que o problema pede:
  1. Encontrar uma solução particular y_p da equação não homogenea.
  2. Encontrar a solução geral y da equação (ou seja, combinar a solução da homogênea com y_p).
Informações dadas relevantes:
  • Coeficientes da equação linear de segunda ordem são 1 (para y''), 3 (para y') e 5 (para y).
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é o polinômio \;7x^{2}+5x+3\; (grau 2).
  • Não há outras condições iniciais fornecidas (então vamos dar a solução geral com constantes arbitrárias).

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicação didática):
  • Para resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo à direita (não-homogêneo), a solução geral é
y = y_h + y_p,
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada (sem o termo à direita) e y_p é uma solução particular da equação completa.
  • Para obter y_h resolvemos a equação característica associada. Se as raízes forem complexas a\pm ib, então a solução homogênea tem a forma
y_h = e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
  • Para obter y_p usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados: como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_p = Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes a determinar. Se algum termo do palpite coincidisse com solução da homogênea (ressonância), multiplicaríamos por potência de x, mas aqui verificaremos isso depois.

Passo 3

Encontrando y_h (solução da homogênea):
  • Equação homogênea associada:
y''+3y'+5y=0.
  • Equação característica (substituindo y=e^{rx}):
r^{2}+3r+5=0.
  • Calculamos o discriminante:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot5 = 9-20 = -11.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
r=\frac{-3\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{-3}{2}\pm i\frac{\sqrt{11}}{2}.
  • Aplicando a fórmula para raízes complexas a\pm ib com a=-\tfrac{3}{2} e b=\tfrac{\sqrt{11}}{2}, a solução homogênea é
y_h = e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolha do palpite para y_p e cálculo das derivadas:
  • Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
y_p = Ax^{2}+Bx+C.
Aqui A,B,C são constantes desconhecidas que vamos determinar.
  • Derivadas de y_p:
y_p' = 2Ax + B,
y_p'' = 2A.
(Explanação: derivada de Ax^2 é 2Ax; de Bx é B; de C é 0. A segunda derivada de Ax^2 é 2A e as outras desaparecem.)

Passo 5

Substituição de y_p, y_p' e y_p'' na equação e agrupamento de termos:
  • Substituindo na equação y''+3y'+5y obtemos
y_p''+3y_p'+5y_p = 2A + 3(2Ax+B) + 5(Ax^{2}+Bx+C).
  • Desenvolvendo e agrupando os termos por potências de x:
2A + 6Ax + 3B + 5Ax^{2} + 5Bx + 5C.
Agora agrupamos coeficientes de x^{2}, x e termo constante:
\underbrace{5A}_{x^{2}}\,x^{2} \;+\; \underbrace{(6A+5B)}_{x}\,x \;+\; \underbrace{(2A+3B+5C)}_{\text{constante}}.
  • Esse resultado deve ser igual ao lado direito 7x^{2}+5x+3. Igualando coeficientes correspondentes dos polinômios, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 5A = 7,\\[4pt] 6A+5B = 5,\\[4pt] 2A+3B+5C = 3. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema para A, B e C (passo a passo com frações):
  • Da primeira equação:
5A=7 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{7}{5}.
  • Substituindo A=\dfrac{7}{5} na segunda equação:
6A+5B=5 \quad\Rightarrow\quad 6\cdot\frac{7}{5}+5B=5.
Calcule 6\cdot\frac{7}{5}=\frac{42}{5}. Escrevendo 5 como \frac{25}{5} para colocar mesmo denominador:
\frac{42}{5}+5B=\frac{25}{5} \quad\Rightarrow\quad 5B=\frac{25}{5}-\frac{42}{5}=-\frac{17}{5}.
Logo
B=\frac{-\tfrac{17}{5}}{5} = -\frac{17}{25}.
  • Agora usamos a terceira equação para obter C:
2A+3B+5C=3.
Substituindo A=\dfrac{7}{5} e B=-\dfrac{17}{25}:
2\cdot\frac{7}{5}+3\cdot\left(-\frac{17}{25}\right)+5C=3.
Calcule cada termo: 2\cdot\frac{7}{5}=\frac{14}{5}=\frac{70}{25} e 3\cdot\left(-\frac{17}{25}\right)=-\frac{51}{25}. Assim
\frac{70}{25}-\frac{51}{25}+5C=3 \quad\Rightarrow\quad \frac{19}{25}+5C=3.
Escrevendo 3 como \dfrac{75}{25}:
5C=\frac{75}{25}-\frac{19}{25}=\frac{56}{25}.
Portanto
C=\frac{56}{25}\cdot\frac{1}{5}=\frac{56}{125}.

Passo 7

Escrevendo a solução particular obtida:
  • Substituindo A, B e C em y_p=Ax^{2}+Bx+C temos
y_p = \frac{7}{5}x^{2} - \frac{17}{25}x + \frac{56}{125}.
(Resumo: encontramos A=\dfrac{7}{5}, B=-\dfrac{17}{25}, C=\dfrac{56}{125}.)

Passo 8

Construindo a solução geral:
  • A solução geral é a soma y=y_h+y_p. Substituindo y_h (Passo 3) e y_p (Passo 7):
y = e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)\big) +\frac{7}{5}x^{2}-\frac{17}{25}x+\frac{56}{125},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se tivéssemos condições iniciais).

Resposta

y_p(x)=\dfrac{7}{5}x^{2}-\dfrac{17}{25}x+\dfrac{56}{125}.
y(x)=e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)\big)+\dfrac{7}{5}x^{2}-\dfrac{17}{25}x+\dfrac{56}{125}.

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