Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo. y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=7 x^{2}+5 x+3;
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
y''+3y'+5y=7x^{2}+5x+3.
O que o problema pede:
Encontrar uma solução particular y_p da equação não homogenea.
Encontrar a solução geral y da equação (ou seja, combinar a solução da homogênea com y_p).
Informações dadas relevantes:
Coeficientes da equação linear de segunda ordem são 1 (para y''), 3 (para y') e 5 (para y).
O termo não-homogêneo (forçamento) é o polinômio \;7x^{2}+5x+3\; (grau 2).
Não há outras condições iniciais fornecidas (então vamos dar a solução geral com constantes arbitrárias).
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (explicação didática):
Para resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo à direita (não-homogêneo), a solução geral é
y = y_h + y_p,
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada (sem o termo à direita) e y_p é uma solução particular da equação completa.
Para obter y_h resolvemos a equação característica associada. Se as raízes forem complexas a\pm ib, então a solução homogênea tem a forma
Para obter y_p usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados: como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_p = Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes a determinar. Se algum termo do palpite coincidisse com solução da homogênea (ressonância), multiplicaríamos por potência de x, mas aqui verificaremos isso depois.
A solução geral é a soma y=y_h+y_p. Substituindo y_h (Passo 3) e y_p (Passo 7):
y = e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\big)\big) +\frac{7}{5}x^{2}-\frac{17}{25}x+\frac{56}{125},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se tivéssemos condições iniciais).