Achar uma solução para a E.D.O dada:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 x

Passo 1

Primeiro, identificamos a EDO:
y'' - 2y' - 3y = 3 e^2x
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução complementar da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a solução complementar, consideramos a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
Resolvendo a equação característica r^2 - 2r - 3 = 0, fatorando temos (r-3)(r+1)=0, logo r = 3 ou r = -1. Assim, a solução complementar é yc = C1 e^3x + C2 e^-x.

Passo 3

Para a solução particular, observamos que o termo não-homogêneo é 3e^2x. Como 2 não é raiz da característica, tentamos o ansatz
yp = A e^2x, yp' = 2A e^2x, yp'' = 4A e^2x

Passo 4

Substituindo na EDO original, obtemos
yp'' - 2yp' - 3yp = 4A e^2x - 2(2A e^2x) - 3(A e^2x) = (4A - 4A - 3A)e^2x = -3A e^2x
Para igualar a 3e^2x, precisamos de -3A = 3, o que dá A = -1. Logo, yp = -e^2x.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte complementar yc e da particular yp, ou seja, y(x) = yc(x) + yp(x).

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - e^2x

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