Determinar a forma apropriada de Y(x) para usar o método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+y=x(1+sen x)

Passo 1

Temos a equação diferencial y''+y = x(1+sin x). O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados, e vamos precisar propor uma forma de solução particular Yp(x) cuja estrutura cubra tanto o termo polinomial x quanto o termo misto xsin x.

Passo 2

Para a parte polinomial x, como não há raízes nulas ou reais repetidas no polinômio do lado direito, a gente propõe um palpite de grau 1: Y1(x)=Ax+Bonde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Para a parte xsin x, note que o termo básico sin x exige normalmente Ccos x + Dsin x, mas temos um fator extra x (grau 1) e ainda as soluções homogêneas sin x e cos x forçam multiplicar por x. Seguindo a regra geral, tomamos um polinômio de grau 1 vezes sin x e cos x, e em seguida multiplicamos tudo por mais um x, resultando em grau 2: Y2(x)=(Cx^2+Dx)cos x + (Ex^2+Fx)sin xcom constantes C,D,E,F a ajustar.

Passo 4

Juntando os dois palpites, a forma apropriada de Yp(x) fica
Yp(x)=Ax+B + (Cx^2+Dx)cos x + (Ex^2+Fx)sin x

Resposta

A forma apropriada de Y(x) para aplicar o método dos coeficientes indeterminados é:
Y(x)=Ax+B + (Cx^2+Dx)cos x + (Ex^2+Fx)sin x,
com A,B,C,D,E,F constantes a determinar.

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