Considere o campo vetorial
. Calcule:
onde
é a curva obtida com a interseção do cilindro
com cone
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de ∫ₙ C F·dr, onde F(x,y,z)=(2xy, (1−y)z+x²+x, x²/2+eᶻ) e C é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x²+z²=1 (z≥0) com o cone z²=x²+(y−1)², orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha em integral de superfície de curl F.
Passo 2
Calculamos o rotacional de F. Definindo F=(P,Q,R) com P=2xy, Q=(1−y)z+x²+x e R=x²/2+eᶻ, temos
Passo 3
Escolhemos como superfície S o trecho do cone z=\sqrt{x²+(y-1)²} limitado pela curva C. Projetando S no plano xy, o domínio D é a região
pois na fronteira D vale 2x²+(y-1)²=1, que reproduz a interseção com o cilindro.
Passo 4
Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,f(x,y)) com f(x,y)=\sqrt{x²+(y-1)²}. Calculamos
e o vetor normal orientado para cima (k>0) é
Passo 5
Então o integrando de Stokes é
Passo 6
Logo
Passo 7
D é uma elipse de semi-eixo a=1/√2 em x e b=1 em y, então área(D)=πab=π/√2.