Considere o campo vetorial F(x, y)=(2 x y,(1-y) z+x^2+x, x^22+e^z). Calcule:
integralC F cdot d r
onde C é a curva obtida com a interseção do cilindro x^2+z^2=1, z >= 0 com cone z^2=x^2+(y-1)^2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de ∫ₙ C F·dr, onde F(x,y,z)=(2xy, (1−y)z+x²+x, x²/2+eᶻ) e C é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x²+z²=1 (z≥0) com o cone z²=x²+(y−1)², orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha em integral de superfície de curl F.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F. Definindo F=(P,Q,R) com P=2xy, Q=(1−y)z+x²+x e R=x²/2+eᶻ, temos
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)=(y-1,,-x,,1)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o trecho do cone z=\sqrt{x²+(y-1)²} limitado pela curva C. Projetando S no plano xy, o domínio D é a região
2x²+(y-1)²<=1,²²
pois na fronteira D vale 2x²+(y-1)²=1, que reproduz a interseção com o cilindro.

Passo 4

Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,f(x,y)) com f(x,y)=\sqrt{x²+(y-1)²}. Calculamos
rx=(1,0,xf), ry=(0,1,y-1f),
e o vetor normal orientado para cima (k>0) é
rxtimes ry=l(-xf,,-y-1f,,1r)

Passo 5

Então o integrando de Stokes é
(nablatimes F)cdot(rxtimes ry)=(y-1)l(-xfr)+(-x)l(-y-1fr)+1=1

Passo 6

Logo
integralC Fcdot dr=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS=integral duplaD1,dA=área(D)á

Passo 7

D é uma elipse de semi-eixo a=1/√2 em x e b=1 em y, então área(D)=πab=π/√2.

Resposta

piraiz2

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