Considere o seguinte campo vetorial
F(x, y)=(2 x cos (y),-x^2 sen(y))
É possível encontrar uma função f, tal que F=nabla f ? Se sim, determine f.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(2xcos y, -x^2seny) é gradiente de alguma função f(x,y). O conteúdo envolvido é o de campos conservativos e condições de existência de potencial.

Passo 2

Para ver se existe tal potencial, comparamos as derivadas parciais: calculamos
partialpartial y(2xcos y)=2x(-seny)=-2xseny
e
partialpartial x(-x^2seny)=-2xseny
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 3

Sabendo que F=nabla f, integrarmos a componente P(x,y)=2xcos y em relação a x:
f(x,y)=integral 2xcos y,dx = x^2cos y + g(y),
onde g(y) é função apenas de y.

Passo 4

Derivamos essa expressão em relação a y e igualamos à componente Q(x,y)=-x^2seny:
partialpartial yl(x^2cos y + g(y)r) = -x^2seny + g'(y) = -x^2seny
Daí g'(y)=0, logo g(y)=C, constante.

Passo 5

Concluímos que existe função potencial e ela difere de uma constante arbitrária.

Resposta

f(x,y)=x^2cos y + C

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