Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 7.) \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+3xy+y^{2}\bigr)\,dx \;-\;x^{2}\,dy=0,\quad x>0,
que é homogênea de grau 2 em x,y. Para resolver, vamos escrever na forma \tfrac{dy}{dx}=f(y/x) e usar a substituição
y = v x,
onde v=v(x).

Passo 2

Dividindo tudo por dx e isolando \tfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{x^{2}+3xy+y^{2}}{x^{2}} =1+3\frac{y}{x}+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Com y=vx temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação de cima:
v + x\frac{dv}{dx} =1 + 3v + v^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = (v+1)^{2}.

Passo 4

Separe as variáveis v e x:
\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Agora integre em ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{v+1} = \ln x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Volte a y usando v=\tfrac{y}{x}:
-\frac{1}{\tfrac{y}{x}+1} = \ln x + C \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{x+y} = \ln x + C.
Definindo uma nova constante C_{1}=-C, fica
\frac{x}{x+y} = C_{1} - \ln x.
Multiplicando ambos os lados por (x+y):
(x+y)\bigl(C_{1}-\ln x\bigr) = x.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
(x+y)\bigl(C - \ln x\bigr) = x,
onde C é a constante arbitrária.

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