Calcule a integral definida:
\int_{0}{1}\left(x{2}+2 x+1\right) d x=\frac{7}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de polinômios, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{2}+2x+1 integrando cada termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 2x\,dx= x^{2},\qquad \int 1\,dx= x.
Logo, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)\,dx =F(1)-F(0).
Calculando:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+1=\frac{1}{3}+1+1=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3},
F(0)=0.
Portanto,
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)\,dx =\frac{7}{3}-0=\frac{7}{3}.

Resposta

\frac{7}{3}

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