Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 10.) x^{2} y^{\prime}+2 x y-y^{3}=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^{2}y' + 2x\,y - y^{3} = 0,\quad x>0.
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois pode ser escrita em forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
com n=3. Vamos usar o método de transformação para Bernoulli.

Passo 2

Colocamos a equação numa forma padrão dividindo por x^{2}:
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{1}{x^{2}}\,y^{3}.

Passo 3

Fazemos a troca de variável típica de Bernoulli,
z = y^{1-n}=y^{-2}.
Então
z' = -2\,y^{-3}\,y'.

Passo 4

Expressamos y^{-3}y' a partir da equação em forma padrão. Dividindo por y^{3} temos
\frac{y'}{y^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x}\,\frac{1}{y^{2}}.
Multiplicando por -2
-2\,\frac{y'}{y^{3}} = -\frac{2}{x^{2}} + \frac{4}{x}\,y^{-2}.
Como z'=-2\,y^{-3}y' e y^{-2}=z, obtemos o ODE linear
z' - \frac{4}{x}\,z = -\frac{2}{x^{2}}.

Passo 5

Resolvemos o linear em z. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{-4}.
Multiplicando a equação por x^{-4}:
x^{-4}z' - 4x^{-5}z = -2x^{-6},
cujo lado esquerdo é \tfrac{d}{dx}(x^{-4}z). Integramos:
\frac{d}{dx}(x^{-4}z) = -2x^{-6} \quad\Longrightarrow\quad x^{-4}z = \int -2x^{-6}\,dx = \frac{2}{5}x^{-5} + C.
Logo
z = C\,x^{4} + \frac{2}{5}\,x^{-1}.

Passo 6

Voltando a y, lembrando z=y^{-2}, temos
y^{-2} = C\,x^{4} + \frac{2}{5}\,x^{-1} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\frac{1}{\sqrt{C\,x^{4} + \tfrac{2}{5}\,x^{-1}}}\!.

Resposta

y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{C\,x^{4} + \tfrac{2}{5}\,x^{-1}}},
onde C é constante arbitrária.

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