Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 8 .) \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x-2 y}, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y - x}{\,x - 2y\,},\quad x>0
e pede a solução geral y=y(x). Como o numerador e o denominador são funções lineares de x e y do mesmo grau, isso é uma equação homogênea de grau 0. Podemos usar o método da substituição
y = u x,
onde u = u(x).

Passo 2

Substituindo y=ux obtemos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Por outro lado,
\frac{y - x}{x - 2y} = \frac{ux - x}{x - 2ux} = \frac{x(u-1)}{x(1-2u)} = \frac{u-1}{1-2u}.
Igualando as duas expressões de dy/dx,
u + x\frac{du}{dx} = \frac{u-1}{1-2u} \;\;\Longrightarrow\;\; x\frac{du}{dx} = \frac{u-1}{1-2u} - u = \frac{2u^2 - 1}{\,1 - 2u\,}.

Passo 3

Separamos as variáveis:
\frac{du}{dx} = \frac{2u^2 - 1}{\,x(1 - 2u)\,} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1 - 2u}{2u^2 - 1}\,du = \frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

No lado esquerdo fazemos a decomposição
\frac{1 - 2u}{2u^2 - 1} = -\frac12\,\frac{d(2u^2 - 1)}{2u^2 - 1} \;+\;\frac{1}{2u^2 - 1}.
Logo,
\int \frac{1 - 2u}{2u^2 - 1}\,du = -\frac12 \ln\bigl|2u^2 - 1\bigr| \;+\;\int \frac{du}{2u^2 - 1}.
Para a segunda integral usamos
\int \frac{du}{2u^2 - 1} = -\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\bigl(\sqrt2\,u\bigr).
Assim
\int \frac{1 - 2u}{2u^2 - 1}\,du = -\frac12 \ln\bigl|2u^2 - 1\bigr| \;-\;\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\bigl(\sqrt2\,u\bigr) = \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.

Passo 5

Reescrevendo,
-\frac12 \ln\bigl|2u^2 - 1\bigr| -\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\bigl(\sqrt2\,u\bigr) = \ln|x| + C.
Multiplicando por -1 e chamando a constante resultante de C_1,
\frac12 \ln\bigl|2u^2 - 1\bigr| +\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\bigl(\sqrt2\,u\bigr) = -\ln|x| + C_1.
Voltando a u = y/x,
\frac12 \ln\!\bigl|2(y/x)^2 - 1\bigr| +\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\!\Bigl(\sqrt2\,\frac{y}{x}\Bigr) + \ln|x| = C_1.
Podemos combinar os logaritmos:
\ln\bigl|\sqrt{2y^2 - x^2}\bigr| +\frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\!\Bigl(\sqrt2\,\frac{y}{x}\Bigr) = C,
onde C é constante geral.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
\boxed{ \ln\bigl|\sqrt{2y^2 - x^2}\bigr| \;+\; \frac{1}{\sqrt2}\,\artanh\!\Bigl(\sqrt2\,\frac{y}{x}\Bigr) = C, }
com C constante de integração.

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