Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 11.)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que está na forma
. O conteúdo aqui é o de equações exatas, e para resolver precisamos:
- Verificar se é exata, isto é, testar se
. - Se for exata, encontrar uma função potencial
tal que . A solução geral será .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Já que é exata, existe
tal que
Integramos essa expressão em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
Por outro lado,
Igualando ao
:
Agora integramos em relação a
:
Podemos incorporar essa constante em
no final.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial exata é
ou seja,