Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 11.) \left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx+\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)\,dy=0
que está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. O conteúdo aqui é o de equações exatas, e para resolver precisamos:
  1. Verificar se é exata, isto é, testar se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  2. Se for exata, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy. A solução geral será F(x,y)=C.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr) =-2x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr) =-2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-2x, a equação é exata.

Passo 3

Já que é exata, existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=3x^{2}-2xy+2.
Integramos essa expressão em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx =x^{3}-x^{2}y+2x+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Por outro lado,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-x^{2}y+2x+h(y)\bigr) =-x^{2}+h'(y).
Igualando ao N:
-x^{2}+h'(y)=6y^{2}-x^{2}+3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=6y^{2}+3.
Agora integramos em relação a y:
h(y)=\int\bigl(6y^{2}+3\bigr)\,dy =2y^{3}+3y + \text{constante}.
Podemos incorporar essa constante em C no final.

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), obtemos a função potencial completa:
F(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y.
A solução geral da equação diferencial exata é
F(x,y)=C,
ou seja,

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C.

Exercícios relacionados