Achar a solução geral.
y^2-2 y=t^2 e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar a solução geral da equação $ y^{2} - 2y = t^{2} e^{2t} $. Isso envolve conceitos de equações algébricas e uso da fórmula de Bhaskara pra resolver quadráticas. Então, vamos precisar entender como rearranjar a equação e aplicar a fórmula quadrática para encontrar o valor de $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixá-la na forma padrão de uma equação quadrática, que é $ ay^{2} + by + c = 0 $. Na nossa equação:
ay^2 + by + c = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -t^{2} e^{2t} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara pra resolver para $ y $. A fórmula é:
y
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 4

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, resolve o numerador:
-(-2) = 2
Dentro da raiz:
(-2)^2 = 4 e -4 cdot 1 cdot (-t^2 e^2t) = 4t^2 e^2t
Assim, a expressão dentro da raiz fica:
4 + 4t^2 e^2t = 4(1 + t^2 e^2t)
Agora, a expressão inteira é:
y = 2 pm raiz4(1 + t^2 e^2t)2

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada:
raiz4(1 + t^2 e^2t) = 2raiz1 + t^2 e^2t
Substituindo de volta na fórmula:
y = 2 pm 2raiz1 + t^2 e^2t2
Podemos dividir tudo por 2:
y = 1 pm raiz1 + t^2 e^2t

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = 1 pm raiz1 + t^2 e^2t

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