Achar a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar a solução geral da equação $ y^{2} - 2y = t^{2} e^{2t} $. Isso envolve conceitos de equações algébricas e uso da fórmula de Bhaskara pra resolver quadráticas. Então, vamos precisar entender como rearranjar a equação e aplicar a fórmula quadrática para encontrar o valor de $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixá-la na forma padrão de uma equação quadrática, que é $ ay^{2} + by + c = 0 $. Na nossa equação:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -t^{2} e^{2t} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara pra resolver para $ y $. A fórmula é:
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Passo 4
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, resolve o numerador:
Dentro da raiz:
Assim, a expressão dentro da raiz fica:
Agora, a expressão inteira é:
Passo 5
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Substituindo de volta na fórmula:
Podemos dividir tudo por 2:
Resposta
A solução geral da equação é: