Determine o campo vetorial gradiente
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o campo vetorial gradiente da função $ f(x, y, z) = x \cosh\left(\frac{xy}{z}\right) $. Isso está ligado à Cálculo Vetorial, especificamente ao conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar $ f(x, y, z) $ é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de $ f $ e é dado por:
Então, precisamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos $ x $ multiplicando $ \cosh\left(\frac{xy}{z}\right) $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é constante em relação a $ y $, então aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. $ x $ é constante em relação a $ z $:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o campo vetorial gradiente de $ f $ é: