Determine o campo vetorial gradiente f.
f(x, y, z)=x cosh x yz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o campo vetorial gradiente da função $ f(x, y, z) = x \cosh\left(\frac{xy}{z}\right) $. Isso está ligado à Cálculo Vetorial, especificamente ao conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar $ f(x, y, z) $ é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de $ f $ e é dado por:
f(x, y, z)
Então, precisamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos $ x $ multiplicando $ \cosh\left(\frac{xy}{z}\right) $:
x
Simplificando:
partial fpartial x = partialpartial x [ x cosh(xyz) ]

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Aqui, $ x $ é constante em relação a $ y $, então aplicamos a regra da cadeia:
y
Simplificando:
partial fpartial y = partialpartial y [ x cosh(xyz) ]

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
f
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. $ x $ é constante em relação a $ z $:
z
Simplificando:
partial fpartial z = partialpartial z [ x cosh(xyz) ]

Resposta

Portanto, o campo vetorial gradiente de $ f $ é:
f

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