Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(4 x, z, 4 y^2) e C é dada pela função vetorial r(t)=(4 cos (2 t), 2 sen(2 t), 3), 0 <= t <= pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão pede para calcular a integral integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (4x, z, 4y^2) e a curva C é parametrizada por r(t) = (4 cos(2t), 2 sin(2t), 3) para t entre 0 e pi/4. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha integralC F cdot d r pode ser calculada parametrizando a curva C com uma função vetorial r(t) e integrando o produto escalar do campo F com a derivada de r(t) em relação a t. A fórmula fica assim:
integralC F cdot d r = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
onde a e b são os limites de t.

Passo 3

Vamos identificar r(t) e calcular sua derivada r'(t). Dada:
r(t) = (4 cos(2t), 2 sin(2t), 3)
Derivando em relação a t:
r'(t) = ( -8 sin(2t), 4 cos(2t), 0 )

Passo 4

Agora, vamos substituir r(t) na função F para encontrar F(r(t)):
F(r(t)) = (4 cdot 4 cos(2t), 3, 4 cdot (2 sin(2t))^2)
Simplificando:
F(r(t)) = (16 cos(2t), 3, 16 sin^2(2t))

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
(16 cos(2t)) cdot (-8 sin(2t)) + 3 cdot (4 cos(2t)) + (16 sin^2(2t)) cdot 0
Calculando cada termo:
-128 cos(2t) sin(2t) + 12 cos(2t) + 0 = -128 cos(2t) sin(2t) + 12 cos(2t)

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi/4 ( -128 cos(2t) sin(2t) + 12 cos(2t) ) dt
Vamos separar essa integral em duas partes:
-128 integral0^pi/4 cos(2t) sin(2t) , dt + 12 integral0^pi/4 cos(2t) , dt

Passo 7

Primeiro, resolvemos I1 = integral cos(2t) sin(2t) , dt. Podemos usar a identidade sin(2t)cos(2t) = 12 sin(4t):
I1 = 12 integral sin(4t) , dt = -18 cos(4t) + C
Então:
-128 I1 = -128 ( -18 cos(4t) ) = 16 cos(4t)

Passo 8

Agora, resolvemos I2 = integral cos(2t) , dt:
I2 = 12 sin(2t) + C
Então:
12 I2 = 12 cdot 12 sin(2t) = 6 sin(2t)

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes e avaliamos entre 0 e pi/4:
16 cos(4t) + 6 sin(2t) g|0^pi/4
Calculando em t = pi/4:
16 cos(pi) + 6 sin(pi2) = 16 (-1) + 6 (1) = -16 + 6 = -10
Calculando em t = 0:
16 cos(0) + 6 sin(0) = 16 (1) + 6 (0) = 16 + 0 = 16

Passo 10

Subtraindo os valores:
-10 - 16 = -26

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r é igual a -26.

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