Calcule a integral de linha , onde e é dada pela função vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão pede para calcular a integral , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para entre e . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha pode ser calculada parametrizando a curva com uma função vetorial e integrando o produto escalar do campo com a derivada de em relação a . A fórmula fica assim:
onde e são os limites de .
Passo 3
Vamos identificar e calcular sua derivada . Dada:
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir na função para encontrar :
Simplificando:
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar :
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Primeiro, resolvemos . Podemos usar a identidade :
Então:
Passo 8
Agora, resolvemos :
Então:
Passo 9
Agora, juntamos as duas partes e avaliamos entre e :