Mostre que o campo vetorial F(x, y)=(2 x y^3, 3 x^2 y^2+cos (y)) é conservativo e determine um função f tal que F=nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o campo vetorial F(x, y) = (2 x y^3, 3 x^2 y^2+cos (y)) é conservativo. Isso envolve entender de campos vetoriais e funções potenciais. Basicamente, vamos verificar se existe uma função f tal que F = nabla f.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função f. Para verificar isso, em duas dimensões, basta checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se partial F2partial x = partial F1partial y.

Passo 3

Vamos calcular partial F2partial x e partial F1partial y:
partial F2partial x = partialpartial x (3 x^2 y^2 + cos(y)) = 6 x y^2
partial F1partial y = partialpartial y (2 x y^3) = 6 x y^2
Como partial F2partial x = partial F1partial y, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função f tal que F = nabla f. Isso significa que:
partial fpartial x = 2 x y^3
partial fpartial y = 3 x^2 y^2 + cos(y)
Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
f(x, y) = integral 2 x y^3 , dx = x^2 y^3 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função qualquer de y.

Passo 5

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar à segunda componente de F:
partial fpartial y = 3 x^2 y^2 + g'(y) = 3 x^2 y^2 + cos(y)
Comparando os termos, vemos que:
g'(y) = cos(y) implies g(y) = sin(y) + C
Onde C é uma constante.

Resposta

A função f que satisfaz F = nabla f é:
f(x, y) = x^2 y^3 + sin(y) + C

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