Mostre que o campo vetorial
é conservativo e determine um função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o campo vetorial
é conservativo. Isso envolve entender de campos vetoriais e funções potenciais. Basicamente, vamos verificar se existe uma função
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função
. Para verificar isso, em duas dimensões, basta checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Comparando os termos, vemos que:
Onde
é uma constante.
Resposta
A função
que satisfaz
é: