Achar a solução particular da equação \left(x^{2}-3 y^{2}\right)+2 x y y^{\prime}=0, com a condição de que y=1 para x=2.
Passo 1
O enunciado pede a solução particular da equação diferencial
\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+2 x y\,y^{\prime}=0
sujeita à condição inicial y(2)=1.
Informações dadas:
A equação é de primeira ordem envolvendo x, y e y'=dy/dx.
Condição inicial: y(2)=1.
O que precisa ser encontrado:
A solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e y(2)=1.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a equação na forma de uma equação diferencial em forma de diferencial exato (forma diferencial):
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0,
onde M(x,y)=x^{2}-3y^{2} e N(x,y)=2xy.
Explicação do conceito importante (equação exata):
Uma equação M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 é equivalente à diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N, então a equação é exata e sua solução geral é \Phi(x,y)=C.
Para testar exatidão calcula-se \partial M/\partial y e \partial N/\partial x; se iguais, já é exata.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é o sinal positivo:
y(x)=x\sqrt{1-\frac{3}{8}x}.
Observação prática: o domínio da solução exige 1-\tfrac{3}{8}x\ge0, ou seja x\le \tfrac{8}{3}, e consideramos x>0 devido ao uso de x^{-4} como fator integrante sem valor absoluto.