Achar a solução particular da equação \left(x^{2}-3 y^{2}\right)+2 x y y^{\prime}=0, com a condição de que y=1 para x=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial
\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+2 x y\,y^{\prime}=0
sujeita à condição inicial y(2)=1.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem envolvendo x, y e y'=dy/dx.
  • Condição inicial: y(2)=1.
O que precisa ser encontrado:
  • A solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e y(2)=1.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a equação na forma de uma equação diferencial em forma de diferencial exato (forma diferencial):
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0,
onde M(x,y)=x^{2}-3y^{2} e N(x,y)=2xy.
Explicação do conceito importante (equação exata):
  • Uma equação M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 é equivalente à diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N, então a equação é exata e sua solução geral é \Phi(x,y)=C.
  • Para testar exatidão calcula-se \partial M/\partial y e \partial N/\partial x; se iguais, já é exata.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}-3y^{2}\right)=-6y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xy\right)=2y.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação NÃO é exata inicialmente.

Passo 3

Procura-se um fator integrante dependente só de x, isto é, uma função \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu(x) a forma fique exata.
Fórmula prática: se
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
é função apenas de x, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}\,dx\right)
é um fator integrante que depende só de x.
Calculemos o quociente:
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{-6y-2y}{2xy}=\frac{-8y}{2xy}=-\frac{4}{x}.
Isto depende só de x, portanto existe \mu(x) e ela é
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(-4\ln|x|\right)=|x|^{-4}.
Para simplicidade (e porque a condição inicial tem x=2>0) tomamos \mu(x)=x^{-4}.

Passo 4

Multiplicando a equação diferencial por \mu(x)=x^{-4} obtemos a forma diferencial
\bigl(x^{-2}-3y^{2}x^{-4}\bigr)\,dx+\bigl(2y x^{-3}\bigr)\,dy=0.
Definindo
\tilde M(x,y)=x^{-2}-3y^{2}x^{-4},\qquad \tilde N(x,y)=2y x^{-3},
verificamos a exatidão:
\frac{\partial\tilde M}{\partial y}=-6y x^{-4}, \qquad \frac{\partial\tilde N}{\partial x}=2y\cdot(-3)x^{-4}=-6y x^{-4},
logo \partial\tilde M/\partial y=\partial\tilde N/\partial x e a equação é exata agora.

Passo 5

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=x^{-2}-3y^{2}x^{-4}.
Integramos \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(x^{-2}-3y^{2}x^{-4}\right)\,dx.
Calculemos as integrais separadamente:
\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}, \qquad \int -3y^{2}x^{-4}\,dx=-3y^{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{3}x^{-3}\right)=y^{2}x^{-3}.
Portanto, até uma função de y,
\Phi(x,y)=-x^{-1}+y^{2}x^{-3}+h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.

Passo 6

Agora impomos \partial\Phi/\partial y=\tilde N(x,y). Calculamos
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=2y x^{-3}+h'(y).
Isto deve ser igual a \tilde N(x,y)=2y x^{-3}. Logo
2y x^{-3}+h'(y)=2y x^{-3}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Assim h(y) é constante: h(y)=C.
Portanto a solução implícita (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=-\frac{1}{x}+\frac{y^{2}}{x^{3}}=C.

Passo 7

Simplificamos a expressão implícita multiplicando por x^{3} (válido para x\neq0):
-x^{2}+y^{2}=C x^{3}.
Rearranjando,
y^{2}=x^{2}+C x^{3}.
Isto é a solução geral implícita após usar o fator integrante.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(2)=1 para determinar C. Substituindo x=2 e y=1 em y^{2}=x^{2}+C x^{3}:
1^{2}=2^{2}+C\cdot 2^{3}\quad\Rightarrow\quad 1=4+8C.
Daí
8C=1-4=-3\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{3}{8}.
Substituindo C de volta:
y^{2}=x^{2}-\frac{3}{8}x^{3}=x^{2}\!\left(1-\frac{3}{8}x\right).

Passo 9

Agora obtemos y(x) explicitamente tomando raiz quadrada:
y(x)=\pm x\sqrt{1-\frac{3}{8}x}.
Para escolher o sinal usamos y(2)=1. Avaliando a raiz em x=2:
1-\frac{3}{8}\cdot 2=1-\frac{6}{8}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},
x\sqrt{1-\frac{3}{8}x}\Big|_{x=2}=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é o sinal positivo:
y(x)=x\sqrt{1-\frac{3}{8}x}.
Observação prática: o domínio da solução exige 1-\tfrac{3}{8}x\ge0, ou seja x\le \tfrac{8}{3}, e consideramos x>0 devido ao uso de x^{-4} como fator integrante sem valor absoluto.

Resposta

y(x)=x\sqrt{1-\dfrac{3}{8}x}

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