Questão 9) Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico da função
, cuja base é delimitada pela região entre
e acima do eixo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: a superfície
. - A base (região projetada no plano
) é delimitada por: - a parábola
, - as retas verticais
e , - e pelo eixo
(ou seja, pela reta ; “acima do eixo ” significa ).
- a parábola
- Pergunta: calcular o volume do sólido delimitado por essa superfície, cuja base é a região descrita acima.
Informação importante que vou usar em seguida: a região
no plano
é
Passo 2
Entendendo qual integral calcular — explicação didática.
Quando um sólido é limitado superiormente por uma superfície
e inferiormente por um plano horizontal
(ou por um plano
), o volume do sólido sobre uma região
no plano
é dado por
onde
é o elemento de área no plano
.
Aqui a superfície é
. Observe que, ao longo do eixo
(ou seja, quando
), a superfície toma o valor
Portanto a reta
corresponde à interseção da superfície com o plano horizontal
. Como a região base foi descrita como “acima do eixo
” (ou seja,
), faz sentido ver o sólido como aquilo que está entre o plano inferior
(na linha
) e a superfície
para
. Assim, a altura do sólido em cada ponto
é
Isso é conveniente: a altura é não negativa (pois
e
), então o volume será a integral dupla de
sobre
:
Passo 3
Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada.
A região
é fácil para integrar na ordem
: para cada
fixo em
,
varia de
até
. Logo a integral iterada é
Aqui explico as variáveis:
-
é a variável de integração externa, percorre de a . -
é a variável interna, percorre de até o valor da parábola . - A função integranda
representa a altura do sólido em cada ponto da base.
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
) passo a passo.
Temos, para
fixo,
Como
é constante em relação a
, pode-se tirar da integral:
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando:
Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 5
Calcular a integral externa (integração em
) e obter o volume.
Agora integramos em
:
A primitiva de
é
. Então
Calcule os termos:
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