Questão 9) Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico da função z=3 x^{2} y-15, cuja base é delimitada pela região entre y=x^{2}, x=-1, x=2 e acima do eixo x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: a superfície z=3x^{2}y-15.
  • A base (região projetada no plano xy) é delimitada por:
    • a parábola y=x^{2},
    • as retas verticais x=-1 e x=2,
    • e pelo eixo x (ou seja, pela reta y=0; “acima do eixo x” significa y\ge 0).
  • Pergunta: calcular o volume do sólido delimitado por essa superfície, cuja base é a região descrita acima.
Informação importante que vou usar em seguida: a região R no plano xy é
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 2,\; 0\le y\le x^{2}\}.

Passo 2

Entendendo qual integral calcular — explicação didática.
Quando um sólido é limitado superiormente por uma superfície z=f(x,y) e inferiormente por um plano horizontal z=g(x,y) (ou por um plano z=\text{const}), o volume do sólido sobre uma região R no plano xy é dado por
\text{Volume}=\iint_{R}\bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.
Aqui a superfície é z=3x^{2}y-15. Observe que, ao longo do eixo x (ou seja, quando y=0), a superfície toma o valor
z=3x^{2}\cdot 0 -15 = -15.
Portanto a reta y=0 corresponde à interseção da superfície com o plano horizontal z=-15. Como a região base foi descrita como “acima do eixo x” (ou seja, y\ge0), faz sentido ver o sólido como aquilo que está entre o plano inferior z=-15 (na linha y=0) e a superfície z=3x^{2}y-15 para y\ge0. Assim, a altura do sólido em cada ponto (x,y)\in R é
\bigl(3x^{2}y-15\bigr)-(-15)=3x^{2}y.
Isso é conveniente: a altura é não negativa (pois x^{2}\ge0 e y\ge0), então o volume será a integral dupla de 3x^{2}y sobre R:
V=\iint_{R} 3x^{2}y\,dA.

Passo 3

Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada.
A região R é fácil para integrar na ordem dy\,dx: para cada x fixo em [-1,2], y varia de 0 até x^{2}. Logo a integral iterada é
V=\int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=0}^{x^{2}} 3x^{2}y\,dy\right)dx.
Aqui explico as variáveis:
  • x é a variável de integração externa, percorre de -1 a 2.
  • y é a variável interna, percorre de 0 até o valor da parábola y=x^{2}.
  • A função integranda 3x^{2}y representa a altura do sólido em cada ponto da base.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em y) passo a passo.
Temos, para x fixo,
\int_{y=0}^{x^{2}} 3x^{2}y\,dy.
Como 3x^{2} é constante em relação a y, pode-se tirar da integral:
3x^{2}\int_{0}^{x^{2}} y\,dy.
A primitiva de y em relação a y é y^{2}/2. Avaliando:
3x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{2}} = 3x^{2}\cdot\frac{(x^{2})^{2}}{2} = 3x^{2}\cdot\frac{x^{4}}{2} = \frac{3}{2}x^{6}.
Portanto a integral interna resulta em \tfrac{3}{2}x^{6}.

Passo 5

Calcular a integral externa (integração em x) e obter o volume.
Agora integramos em x:
V=\int_{-1}^{2} \frac{3}{2}x^{6}\,dx = \frac{3}{2}\int_{-1}^{2} x^{6}\,dx.
A primitiva de x^{6} é x^{7}/7. Então
V=\frac{3}{2}\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{-1}^{2} = \frac{3}{14}\bigl(2^{7}-(-1)^{7}\bigr).
Calcule os termos:
2^{7}=128,\qquad (-1)^{7}=-1,
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V=\frac{3}{14}(128-(-1))=\frac{3}{14}\cdot 129=\frac{387}{14}.

Resposta

\dfrac{387}{14}

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