Resolva a equação diferencial.
\sin x \frac{d y}{d x}+(\cos x) y=\sin \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sin x\,\frac{dy}{dx}+(\cos x)\,y=\sin\bigl(x^{2}\bigr)
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes:
  • A equação envolve funções trigonométricas \sin x e \cos x.
  • A presença de \sin x multiplicando \dfrac{dy}{dx} sugere que é útil dividir por \sin x, mas isso só é permitido onde \sin x\neq 0. Portanto a resolução dará solução em intervalos onde \sin x não se anula (entre os pontos x=k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • Não foi dada condição inicial, então procuramos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo por \sin x, assumindo \sin x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\cot x\; y=\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{\sin x}.
Aqui definições/explicações:
  • \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Uma equação linear de primeira ordem tem forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Aqui P(x)=\cot x e Q(x)=\dfrac{\sin(x^{2})}{\sin x}.

Passo 3

Método: fator integrante. Explico o porquê de maneira simples:
  • Para \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) existe um fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int P(x)\,dx\bigr) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo fica na forma de derivada de produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr).
  • Isso facilita porque então podemos integrar diretamente ambos os lados.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \cot x\,dx\right).
Sabemos a primitiva \int \cot x\,dx=\ln\bigl|\sin x\bigr| + C. Podemos escolher a constante C=0 para o fator integrante (constante multiplicativa não altera). Logo
\mu(x)=\exp\!\bigl(\ln|\sin x|\bigr)=|\sin x|.
Em um intervalo onde \sin x não muda de sinal (por exemplo 0<x<\pi ou \pi<x<2\pi), podemos tomar \mu(x)=\sin x (sem valor absoluto). Para simplificar a notação, usamos \mu(x)=\sin x entendendo que tratamos cada intervalo entre zeros de \sin x separadamente.

Passo 5

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=\sin x:
\sin x\left(\frac{dy}{dx}+\cot x\,y\right)=\sin x\cdot\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{\sin x}.
O lado esquerdo simplifica porque \sin x\cdot\cot x=\cos x, então é exatamente a equação original — e, como desejado, pode ser escrito como derivada de produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\; y\bigr)=\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Explicação: a derivada \dfrac{d}{dx}(\sin x\;y)=\cos x\;y+\sin x\;\dfrac{dy}{dx}, que coincide com o lado esquerdo original.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\sin x\;y=\int \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Observação importante sobre a integral:
  • A primitiva \int \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx não é expressável em funções elementares usuais; é uma integral conhecida que aparece nas integrais de Fresnel. Podemos escrevê-la como uma integral indefinida ou introduzir a função
S(x)=\int_{x_{0}}^{x}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
para algum ponto de referência x_{0} (por exemplo x_{0}=0), entendendo que a constante C absorve qualquer escolha de x_{0}.

Passo 7

Isolando y, obtemos a solução geral (válida onde \sin x\neq0):
y(x)=\frac{1}{\sin x}\left(C+\int \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\right).
Ou, de forma mais explícita com integral definida (escolhendo um ponto de referência x_{0} com \sin x_{0}\neq0):
y(x)=\frac{1}{\sin x}\left(C+\int_{x_{0}}^{x}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt\right).
Comentário final sobre domínio e singularidades:
  • Esta expressão é a solução geral em cada intervalo aberto onde \sin x\neq0 (entre as raízes x=k\pi). Em x=k\pi a equação original precisa de tratamento separado — pode haver soluções que tendem a limites finitos ou ter singularidade dependendo da constante C, mas a forma acima descreve a família geral entre os pontos singulares.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\sin x}\left(C+\int \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\right)

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