Resolva a equação diferencial.
y^{\prime}+2 y=2 e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime}+2y=2e^{x}
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações fornecidas e o que se busca:
  • Temos uma equação que relaciona y, sua derivada y^{\prime} e a função e^{x}.
  • Objetivo: encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante de integração).

Passo 2

Vamos transformar a equação para usar um método sistemático (fácil de aplicar na prova): escrever a equação na forma padrão
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x)
e usar um fator integrante. Aqui, comparando termos, obtemos
p(x)=2,\qquad q(x)=2e^{x}.
O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Explicando: a ideia do fator integrante é multiplicar a equação por \mu(x) de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y(x). Vamos calcular \mu(x).

Passo 3

Calcule o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.
Propriedade útil (que vale porque \mu'=\!p\mu): para esse \mu vale
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,y^{\prime}(x)+\mu'(x)\,y(x)=\mu(x)\,y^{\prime}(x)+p(x)\mu(x)\,y(x).
Portanto multiplicando a equação original por \mu(x) o lado esquerdo se torna exatamente \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big).

Passo 4

Multiplicando a equação por e^{2x}:
e^{2x}y^{\prime}+2e^{2x}y=2e^{2x}e^{x}=2e^{3x}.
Pelo raciocínio anterior o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=2e^{3x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx=\int 2e^{3x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{2x}y. Para a direita, usando \int e^{kx}\,dx=\dfrac{1}{k}e^{kx},
e^{2x}y=\frac{2}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração (qualquer número real).

Passo 6

Isolando y dividindo por e^{2x}:
y=e^{-2x}\!\left(\frac{2}{3}e^{3x}+C\right)=\frac{2}{3}e^{x}+C e^{-2x}.
Aqui é útil interpretar a solução: y(x)=\dfrac{2}{3}e^{x} é uma solução particular e C e^{-2x} é a solução geral da homogênea associada y'+2y=0. A combinação dá a solução geral da equação original.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): calcule y^{\prime} e veja que a equação é satisfeita. Para
y=\frac{2}{3}e^{x}+C e^{-2x}
temos
y^{\prime}=\frac{2}{3}e^{x}-2C e^{-2x}.
Então
y^{\prime}+2y=\left(\frac{2}{3}e^{x}-2C e^{-2x}\right)+2\left(\frac{2}{3}e^{x}+C e^{-2x}\right)=2e^{x},
o que confirma que a solução encontrada está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{2}{3}e^{x}+C e^{-2x}

Exercícios relacionados