Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações fornecidas e o que se busca:
Informações fornecidas e o que se busca:
- Temos uma equação que relaciona
, sua derivada e a função . - Objetivo: encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante de integração).
Passo 2
Vamos transformar a equação para usar um método sistemático (fácil de aplicar na prova): escrever a equação na forma padrão
e usar um fator integrante. Aqui, comparando termos, obtemos
O fator integrante
é definido por
Explicando: a ideia do fator integrante é multiplicar a equação por
de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcule o fator integrante:
Propriedade útil (que vale porque
): para esse
vale
Portanto multiplicando a equação original por
o lado esquerdo se torna exatamente
.
Passo 4
Multiplicando a equação por
:
Pelo raciocínio anterior o lado esquerdo é a derivada:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. Para a direita, usando
,
onde
é a constante de integração (qualquer número real).
Passo 6
Isolando
dividindo por
:
Aqui é útil interpretar a solução:
é uma solução particular e
é a solução geral da homogênea associada
. A combinação dá a solução geral da equação original.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): calcule
e veja que a equação é satisfeita. Para
temos
Então
o que confirma que a solução encontrada está correta.