Achar a solução particular para o seguinte problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=x+4 y, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dy}{dx} = x + 4y,
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo envolvido é resolução de ODEs lineares usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
\frac{dy}{dx} - 4y = x.
Aqui identificamos P(x)=-4 e Q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -4\,dx} = e^{-4x}.
Multiplicamos a equação padrão por \mu(x), obtendo
e^{-4x}\frac{dy}{dx} - 4e^{-4x}y = x e^{-4x},
cujo lado esquerdo é \frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}y\bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}y\bigr) = x e^{-4x} \quad\Longrightarrow\quad e^{-4x}y = \int x e^{-4x}\,dx.
Para \displaystyle\int x e^{-4x}\,dx, usamos integração por partes com u=x, dv=e^{-4x}dx, obtendo
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} - \frac{1}{16}e^{-4x} + C.

Passo 5

Logo
e^{-4x}y = -\Bigl(\frac{x}{4} + \frac{1}{16}\Bigr)e^{-4x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = -\Bigl(\frac{x}{4} + \frac{1}{16}\Bigr) + C e^{4x}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = -\Bigl(0 + \tfrac{1}{16}\Bigr) + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1 + \tfrac{1}{16} = \tfrac{17}{16}.

Resposta

y(x) = \frac{17}{16}\,e^{4x} \;-\; \frac{x}{4} \;-\; \frac{1}{16}.

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