Achar a solução particular para o seguinte problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+y}-1, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y} - 1, \quad y(1)=0
É uma EDO de primeira ordem. Vamos usar a substituição
u = x + y
para simplificar.

Passo 2

Como u = x+y, temos
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx} da equação original,
\frac{du}{dx} = 1 + \Bigl(\frac{1}{x+y}-1\Bigr) = \frac{1}{u}.

Passo 3

Agora resolvemos a separável
\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}.
Isso dá
u\,\frac{du}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \int u\,du = \int dx.

Passo 4

Integrando em ambos os lados, obtemos
\frac{1}{2}u^2 = x + C.

Passo 5

Para determinar C, usamos y(1)=0, logo u(1)=1+0=1. Substituindo em \tfrac12u^2 = x+C,
\frac12\cdot1^2 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad \frac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac12.

Passo 6

Assim
u^2 = 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \sqrt{2x-1} \quad(\text{escolhendo o ramo positivo para }u(1)=1).
Como y = u - x, vem
y(x) = \sqrt{2x-1}\;-\;x.

Resposta

y(x) = \sqrt{2x - 1} \;-\; x.

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