Achar toda a familia de trajetórias, na forma de F(x, y)=C, para a seguinte sistema autônoma:
\begin{aligned} & \frac{d x}{d t}=-x+x y \\\ & \frac{d y}{d t}=y-x y \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema autônomo
\frac{dx}{dt}=-x+xy,\quad \frac{dy}{dt}=y-xy
e pede as curvas integrais na forma F(x,y)=C. Para isso, vamos usar a relação
\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}
e obter uma equação diferencial separável em x e y.

Passo 2

Calculemos
\frac{dy}{dx} =\frac{y-xy}{-x+xy} =\frac{y(1-x)}{x(y-1)}.

Passo 3

Separe variáveis:
\frac{y-1}{y}\,dy=\frac{1-x}{x}\,dx.

Passo 4

Integre cada lado:
\int\Bigl(1-\frac1y\Bigr)\,dy =\int\Bigl(\frac1x-1\Bigr)\,dx
y-\ln|y|=\ln|x|-x+C.

Passo 5

Reescrevendo em forma de nível, juntamos termos:
x+y-\ln|x|-\ln|y|=K,
onde K é constante arbitrária. De modo equivalente,
x+y-\ln\lvert xy\rvert=C.

Resposta

x+y-\ln\lvert x y\rvert=C.

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