a) Achar uma solução particular do sistema homogêneo
& y1^prime=y1+3 y2+4 sen 2 t & y2^prime=y1-y2
b) Achar uma solução do sistema com as condições iniciais y1(0)=y2(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema não homogêneo
y1^prime&=y1+3y2+4sen(2t), y2^prime&=y1-y2,
e pede (a) uma solução particular e (b) a solução que satisfaz y1(0)=y2(0)=1.
Conteúdo: sistemas lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados para forçamento senoidal.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo y'=Ay com
A=1&31&-1
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)(-1-lambda)-3= lambda^2-4=0,
logo lambda=pm2.
Para lambda=2, resolvendo (A-2I)v=0 vem vetor próprio v1=(3,1).
Para lambda=-2, resolvendo (A+2I)v=0 vem vetor próprio v2=(1,-1).
Assim
yh(t)=C131e^2t +C21-1e^-2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp(t) do sistema completo com termo 4sen(2t), usamos tentativa
yp(t)= asen(2t)+bcos(2t)[6pt] csen(2t)+dcos(2t)
Calculamos derivadas
yp'= 2acos(2t)-2bsen(2t)[3pt] 2ccos(2t)-2dsen(2t) ,
e igualamos em cada equação aos termos de seno e cosseno. Isso gera o sistema
-2b = a+3c+4, 2a = b+3d, -2d = a-c, 2c = b-d
Resolvendo dá
a=c=-tfrac12, b=-1, d=0
Logo
yp(t)= -tfrac12sen(2t)-cos(2t)[3pt] -tfrac12sen(2t) ]

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) =;C131e^2t +C21-1e^-2t + -tfrac12sen(2t)-cos(2t)[3pt] -tfrac12sen(2t) ]

Passo 5

Impondo
Da segunda vem . Resolve-se

Resposta

y1(t) =94e^2t-14e^-2t -tfrac12sen(2t)-cos(2t), y2(t) =34e^2t+14e^-2t -tfrac12sen(2t)

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