a) Achar uma solução particular do sistema homogêneo
b) Achar uma solução do sistema com as condições iniciais
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema não homogêneo
e pede (a) uma solução particular e (b) a solução que satisfaz
.
Conteúdo: sistemas lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados para forçamento senoidal.
Conteúdo: sistemas lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados para forçamento senoidal.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo
com
O polinômio característico é
logo
.
Para , resolvendo
vem vetor próprio
.
Para , resolvendo
vem vetor próprio
.
Assim
Para
Para
Assim
Passo 3
Para achar uma solução particular
do sistema completo com termo
, usamos tentativa
Calculamos derivadas
e igualamos em cada equação aos termos de seno e cosseno. Isso gera o sistema
Resolvendo dá
Logo
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Impondo
Da segunda vem . Resolve-se