Sejam A uma matriz constante n times n, B, C e D vetores constantes n-dimensionais e alpha um número real não nulo dado. Demonstrar que o sistema não homogêneo
Y^prime(t)=A Y(t)+(cos alpha t) C+(sen alpha t) D, Y(0)=B
tem uma solução particular da forma
Y(t)=(cos alpha t) E+(sen alpha t) F
sendo E e F vetores constantes, se e só se,
(A^2+alpha^2 I) B=-(A C+alpha D)
Determinar E e F em função de A, B, C para uma tal solução. Observe que se A^2+alpha^2 I é não singular, o vetor inicial B sempre pode ser escolhido de modo que o sistema tenha uma solução da forma indicada.

Passo 1

O problema é um sistema linear não homogêneo com forçantes cosalpha t e senalpha t. Vamos buscar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados supondo
Y(t)=(cos alpha t),E+(sen alpha t),F,
onde E e F são vetores constantes a determinar.

Passo 2

Calculemos a derivada de Y(t):
Y'(t)=-alpha(sen alpha t),E+alpha(cos alpha t),F
Substituindo em
Y'(t)=A,Y(t)+(cos alpha t),C+(sen alpha t),D
obtemos
-alpha(sen alpha t)E+alpha(cos alpha t)F =Al((cos alpha t)E+(sen alpha t)Fr) +(cos alpha t)C+(sen alpha t)D

Passo 3

Agrupando coeficientes de cosalpha t e senalpha t dá dois sistemas lineares em E,F:
alpha F = A,E + C, -alpha E = A,F + D

Passo 4

A condição inicial implica Y(0)=E=B. Logo devemos ter
E=B

Passo 5

Da primeira equação alpha F = A,E + C segue
F = 1alpha,(A,E + C)
Substituindo E=B nesta expressão e injetando em -alpha E = A,F + D, obtemos
(A^2+alpha^2 I),B=-(A,C+alpha,D),
que é a condição necessária e suficiente para existir solução da forma proposta.

Passo 6

Sob a condição (A^2+alpha^2 I)B=-(A,C+alpha D), as constantes são
E = B, F = 1alpha,(A,B + C)

Resposta

E = B, F = 1alpha,(A,B + C)
E a condição de existência é
(A^2+alpha^2 I),B = -(A,C+alpha,D)

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