Sejam uma matriz constante e vetores constantes n-dimensionais e um número real não nulo dado. Demonstrar que o sistema não homogêneo
tem uma solução particular da forma
sendo e vetores constantes, se e só se,
Determinar e em função de para uma tal solução. Observe que se é não singular, o vetor inicial sempre pode ser escolhido de modo que o sistema tenha uma solução da forma indicada.
Passo 1
O problema é um sistema linear não homogêneo com forçantes e . Vamos buscar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados supondo
onde e são vetores constantes a determinar.
Passo 2
Calculemos a derivada de :
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Agrupando coeficientes de e dá dois sistemas lineares em :
Passo 4
A condição inicial implica Y(0)=E=B. Logo devemos ter
E=B
Passo 5
Da primeira equação alpha F = A,E + C segue
F = 1alpha,(A,E + C)
Substituindo E=B nesta expressão e injetando em -alpha E = A,F + D, obtemos
(A^2+alpha^2 I),B=-(A,C+alpha,D),
que é a condição necessária e suficiente para existir solução da forma proposta.
Passo 6
Sob a condição (A^2+alpha^2 I)B=-(A,C+alpha D), as constantes são