Achar a solução do problema de valor inicial proposto e enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
y^{\prime}+(\operatorname{cotg} x) y=4 \operatorname{sen} x, y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 .
y^{\prime}+(\operatorname{cotg} x) y=4 \operatorname{sen} x, y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido:
- Encontrar a solução
do problema de valor inicial. - Enunciar o intervalo em que a solução encontrada é válida.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está na forma linear de primeira ordem
com e . - A condição inicial é dada em
. - A função
(cotangente) tem singularidades quando , isto é, em , . Portanto a solução só pode ser válida em intervalos que não contenham pontos .
Passo 2
Explicar o método: para uma equação linear de primeira ordem
usa-se o fator integrante
. A razão é que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo fica igual à derivada de
:
logo
. Integrando obtemos
e, então,
. Vou aplicar isso com
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Primeiro a primitiva de
:
Portanto
Para trabalhar de forma mais simples, escolhemos
. Isso é permitido porque num intervalo onde o sinal de
não muda (como o intervalo que contém
) podemos usar
(a diferença de sinal seria absorvida pela constante de integração).
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Obtém-se
Como
, o segundo termo simplifica para
. Assim o lado esquerdo é
Logo a equação transformada é
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Calcular
usando a identidade
:
Integrando:
Portanto
Passo 6
Isolar
:
Podemos usar
para reescrever:
Esta é a forma geral da família de soluções (válida onde
).
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Avaliando a expressão
em
:
-
. -
.
A condição dá
Logo
.
Passo 8
Substituir
na solução geral. Temos
portanto
Usando
fica também
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evidencia que não há divisão por zero além de
.
Passo 9
Determinar o intervalo de validade: a equação original contém
, que é singular onde
, isto é, em
. A condição inicial está em
, que pertence ao intervalo aberto entre
e
. Portanto o maior intervalo aberto que contém
e onde
e
são contínuos (sem singularidades) é
Nessa região a solução encontrada é contínua e única pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares.