Achar a solução do problema de valor inicial proposto e enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
y^{\prime}+(\operatorname{cotg} x) y=4 \operatorname{sen} x, y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'+(\operatorname{cotg} x)\,y=4\operatorname{sen} x,\qquad y\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(x) do problema de valor inicial.
  • Enunciar o intervalo em que a solução encontrada é válida.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está na forma linear de primeira ordem y'+p(x)y=q(x) com p(x)=\operatorname{cotg} x e q(x)=4\operatorname{sen} x.
  • A condição inicial é dada em x_0=-\dfrac{\pi}{2}.
  • A função \operatorname{cotg} x (cotangente) tem singularidades quando \operatorname{sen} x=0, isto é, em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}. Portanto a solução só pode ser válida em intervalos que não contenham pontos k\pi.

Passo 2

Explicar o método: para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x)
usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A razão é que, multiplicando a equação por \mu, o lado esquerdo fica igual à derivada de \mu y:
(\mu y)'=\mu y'+\mu p y,
logo (\mu y)'=\mu q. Integrando obtemos \mu y=\int \mu q\,dx + C e, então, y=(\int \mu q\,dx + C)/\mu. Vou aplicar isso com p(x)=\operatorname{cotg} x e q(x)=4\operatorname{sen} x.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Primeiro a primitiva de p(x):
\int \operatorname{cotg} x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\ln|\sin x| + C.
Portanto
\mu(x)=e^{\int \operatorname{cotg} x\,dx}=e^{\ln|\sin x|}=|\sin x|.
Para trabalhar de forma mais simples, escolhemos \mu(x)=\sin x. Isso é permitido porque num intervalo onde o sinal de \sin x não muda (como o intervalo que contém x_0=-\tfrac{\pi}{2}) podemos usar \sin x (a diferença de sinal seria absorvida pela constante de integração).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \sin x. Obtém-se
\sin x\,y' + (\sin x)\operatorname{cotg} x\,y = 4\sin^2 x.
Como \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, o segundo termo simplifica para \cos x\,y. Assim o lado esquerdo é
\sin x\,y' + \cos x\,y = (\sin x\,y)'.
Logo a equação transformada é
(\sin x\,y)' = 4\sin^2 x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\sin x\,y = \int 4\sin^2 x\,dx + C.
Calcular \int 4\sin^2 x\,dx usando a identidade \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}:
\int 4\sin^2 x\,dx = 4\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = 2\int (1-\cos 2x)\,dx.
Integrando:
2\int (1-\cos 2x)\,dx = 2\Big(x - \frac{\sin 2x}{2}\Big) = 2x - \sin 2x.
Portanto
\sin x\,y = 2x - \sin 2x + C.

Passo 6

Isolar y:
y(x)=\frac{2x - \sin 2x + C}{\sin x}.
Podemos usar \sin 2x=2\sin x\cos x para reescrever:
y(x)=\frac{2x + C}{\sin x} - 2\cos x.
Esta é a forma geral da família de soluções (válida onde \sin x\neq0).

Passo 7

Aplicar a condição inicial y\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0 para determinar C. Avaliando a expressão \sin x\,y = 2x - \sin 2x + C em x=-\dfrac{\pi}{2}:
  • \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1.
  • \sin 2x = \sin(-\pi)=0.
    A condição dá
\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\cdot y\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)= -1\cdot 0 = 0 = 2\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 0 + C = -\pi + C.
Logo C=\pi.

Passo 8

Substituir C=\pi na solução geral. Temos
\sin x\,y = 2x - \sin 2x + \pi,
portanto
y(x)=\frac{2x - \sin 2x + \pi}{\sin x}.
Usando \sin 2x=2\sin x\cos x fica também
y(x)=\frac{2x+\pi}{\sin x} - 2\cos x.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evidencia que não há divisão por zero além de \sin x=0.

Passo 9

Determinar o intervalo de validade: a equação original contém \operatorname{cotg} x, que é singular onde \sin x=0, isto é, em x=k\pi. A condição inicial está em x_0=-\dfrac{\pi}{2}, que pertence ao intervalo aberto entre -\pi e 0. Portanto o maior intervalo aberto que contém x_0 e onde p(x)=\operatorname{cotg} x e q(x)=4\operatorname{sen} x são contínuos (sem singularidades) é
(-\pi,0).
Nessa região a solução encontrada é contínua e única pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares.

Resposta

y(x)=\frac{2x-\sin 2x+\pi}{\sin x}=\frac{2x+\pi}{\sin x}-2\cos x
\text{Intervalo de validade: }(-\pi,0)

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