Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
a_{n}=\frac{n \operatorname{sen} n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n\operatorname{sen} n}{n^{2}+1}
e pede duas coisas: decidir se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o seu limite. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de a_{n} para cada inteiro n\ge 1.
  • Não há outras condições (por exemplo sobre n inteiro positivo está implícito).

Passo 2

Primeiro lembrete útil (fórmula/ideia): para qualquer número real x vale
|\operatorname{sen} x|\le 1.
Isso significa que o seno de qualquer número está entre -1 e 1. Aqui x é qualquer número real; no nosso caso usaremos x=n. Explicando o que é |\cdot|: |y| é o valor absoluto de y, isto é, a distância de y até 0; por exemplo |-2|=2 e |3|=3.

Passo 3

Usando |\operatorname{sen} n|\le 1 obtemos uma cota para |a_{n}|:
|a_{n}|=\left|\frac{n\operatorname{sen} n}{n^{2}+1}\right|=\frac{n\,|\operatorname{sen} n|}{n^{2}+1}\le\frac{n}{n^{2}+1}.
Agora vamos estudar o limite da sequência de cota \dfrac{n}{n^{2}+1}. Uma forma simples de ver que ela tende a 0 é notar que, para n\ge1,
\frac{n}{n^{2}+1}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
e sabe-se que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto
\frac{n}{n^{2}+1}\to 0\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 4

Apresentando o teorema que vamos usar (Teorema do Confronto / Teorema do Aperto): se temos três sequências b_{n}, a_{n}, c_{n} tais que, para todo n suficientemente grande,
b_{n}\le a_{n}\le c_{n},
e se \lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty} a_{n}=L. Aqui b_{n} e c_{n} são as sequências que “apertam” a_{n} por baixo e por cima, e L é o limite comum. Esse teorema serve para concluir limites quando se consegue colocar a sequência entre duas sequências cujo limite é conhecido.

Passo 5

Aplicando o teorema do confronto ao nosso caso: usando |\operatorname{sen} n|\le1 obtemos
-\frac{n}{n^{2}+1}\le \frac{n\operatorname{sen} n}{n^{2}+1}\le \frac{n}{n^{2}+1},
ou seja
-\frac{n}{n^{2}+1}\le a_{n}\le \frac{n}{n^{2}+1}.
Pelo Passo 3 já vimos que \dfrac{n}{n^{2}+1}\to 0. Logo as duas sequências que limitam a_{n} por cima e por baixo tendem a 0. Pelo teorema do confronto, a_{n} tem o mesmo limite, isto é, converge para 0.

Passo 6

Um pouquinho de intuição numérica para ajudar a fixar: calculemos alguns valores aproximados (apenas para sentir a marcha):
a_{1}=\frac{1\operatorname{sen}1}{2}\approx\frac{0{,}8415}{2}\approx 0{,}421,
a_{10}=\frac{10\operatorname{sen}10}{101}\approx\frac{10\cdot(-0{,}5440)}{101}\approx -0{,}054,
já com n=10 a magnitude está pequena, e a tendência é ficar ainda menor conforme n cresce, confirmando o resultado teórico.

Passo 7

Resumo didático-final (como lembrar na prova): quando o numerador é limitado em magnitude (aqui n\operatorname{sen} n tem magnitude no máximo n) e o denominador cresce como n^{2}, a razão tende a zero — uma regra prática: se numerador cresce no máximo linearmente em n e o denominador cresce como n^{2}, o quociente tende a 0. Use sempre a desigualdade |\operatorname{sen} x|\le1 + teorema do confronto.

Resposta

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