Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite. a_{n}=\frac{n \operatorname{sen} n}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n\operatorname{sen} n}{n^{2}+1}
e pede duas coisas: decidir se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o seu limite. Informações relevantes fornecidas:
A expressão explícita de a_{n} para cada inteiro n\ge 1.
Não há outras condições (por exemplo sobre n inteiro positivo está implícito).
Passo 2
Primeiro lembrete útil (fórmula/ideia): para qualquer número real x vale
|\operatorname{sen} x|\le 1.
Isso significa que o seno de qualquer número está entre -1 e 1. Aqui x é qualquer número real; no nosso caso usaremos x=n. Explicando o que é |\cdot|: |y| é o valor absoluto de y, isto é, a distância de y até 0; por exemplo |-2|=2 e |3|=3.
Passo 3
Usando |\operatorname{sen} n|\le 1 obtemos uma cota para |a_{n}|:
Apresentando o teorema que vamos usar (Teorema do Confronto / Teorema do Aperto): se temos três sequências b_{n}, a_{n}, c_{n} tais que, para todo n suficientemente grande,
b_{n}\le a_{n}\le c_{n},
e se \lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty} a_{n}=L. Aqui b_{n} e c_{n} são as sequências que “apertam” a_{n} por baixo e por cima, e L é o limite comum. Esse teorema serve para concluir limites quando se consegue colocar a sequência entre duas sequências cujo limite é conhecido.
Passo 5
Aplicando o teorema do confronto ao nosso caso: usando |\operatorname{sen} n|\le1 obtemos
Pelo Passo 3 já vimos que \dfrac{n}{n^{2}+1}\to 0. Logo as duas sequências que limitam a_{n} por cima e por baixo tendem a 0. Pelo teorema do confronto, a_{n} tem o mesmo limite, isto é, converge para 0.
Passo 6
Um pouquinho de intuição numérica para ajudar a fixar: calculemos alguns valores aproximados (apenas para sentir a marcha):
já com n=10 a magnitude está pequena, e a tendência é ficar ainda menor conforme n cresce, confirmando o resultado teórico.
Passo 7
Resumo didático-final (como lembrar na prova): quando o numerador é limitado em magnitude (aqui n\operatorname{sen} n tem magnitude no máximo n) e o denominador cresce como n^{2}, a razão tende a zero — uma regra prática: se numerador cresce no máximo linearmente em n e o denominador cresce como n^{2}, o quociente tende a 0. Use sempre a desigualdade |\operatorname{sen} x|\le1 + teorema do confronto.