Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y'(x)+2y(x)=x^{2}-x+1,\qquad y(1)=\tfrac{1}{2},\qquad x>0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é válida para x>0 (portanto podemos dividir por x sem medo).
  • A condição inicial é y(1)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por x (já que x>0):
y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x}.
Calculemos o lado direito simplificando a fração:
\frac{x^{2}-x+1}{x}=x-1+\frac{1}{x}.
Portanto a equação em forma padrão é
y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=x-1+\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora uma breve aula: para uma equação linear de primeira ordem
y'(x)+p(x)y(x)=q(x),
usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). A razão é que, escolhendo \mu assim,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big)=\mu(x)q(x),
o que transforma a equação numa igualdade de derivada exata que podemos integrar diretamente.
No nosso caso p(x)=\dfrac{2}{x}. Então
\int p(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x=\ln x^{2},
e como x>0 temos
\mu(x)=e^{\ln x^{2}}=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original em forma padrão por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}y'(x)+2x y(x)=x^{2}\left(x-1+\frac{1}{x}\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{2}y(x), pois
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=2x y(x)+x^{2}y'(x).
O lado direito simplifica-se termo a termo:
x^{2}\left(x-1+\frac{1}{x}\right)=x^{3}-x^{2}+x.
Portanto obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=x^{3}-x^{2}+x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{2}y(x)=\int\big(x^{3}-x^{2}+x\big)\,dx + C.
Calcule a integral termo a termo:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int -x^{2}\,dx=-\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Logo
x^{2}y(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C.
Dividindo por x^{2} obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+C\,x^{-2}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=\tfrac{1}{2} para determinar C. Substituindo x=1:
y(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C=\frac{5}{12}+C.
Como y(1)=\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{12}, temos
\frac{5}{12}+C=\frac{6}{12}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{12}.

Passo 7

Substituindo C=\tfrac{1}{12} na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,x^{-2}.
Breve verificação (opcional mas útil na prova): derivando e substituindo na equação original confirma-se que
x y'(x)+2y(x)=x^{2}-x+1,
portanto a solução está correta para x>0.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,x^{-2}

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