Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).
x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é válida para
(portanto podemos dividir por sem medo). - A condição inicial é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por
(já que
):
Calculemos o lado direito simplificando a fração:
Portanto a equação em forma padrão é
Passo 3
Agora uma breve aula: para uma equação linear de primeira ordem
usa-se o fator integrante
. A razão é que, escolhendo
assim,
o que transforma a equação numa igualdade de derivada exata que podemos integrar diretamente.
No nosso caso
. Então
e como
temos
Passo 4
Multiplicamos a equação original em forma padrão por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
O lado direito simplifica-se termo a termo:
Portanto obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calcule a integral termo a termo:
Logo
Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Como
, temos
Passo 7
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Breve verificação (opcional mas útil na prova): derivando e substituindo na equação original confirma-se que
portanto a solução está correta para
.