e. No vestibular do ano passado exigia-se, dos candidatos à carreira de Administração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em Matemática e 76 candidatos foram eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219 . Qual o número de candidatos eliminados apenas pela Redação?
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- O número de candidatos eliminados em Matemática é
. - O número de candidatos eliminados em Redação é
. - O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas (ou seja, eliminados em Matemática ou em Redação ou em ambas) é
.
A pergunta é: qual o número de candidatos eliminados apenas pela Redação? Em outras palavras, queremos
(candidatos que foram eliminados em Redação e não em Matemática).
Passo 2
Vou definir claramente as quantidades e a notação (tudo bem explicar devagarinho):
-
é a quantidade eliminada em Matemática (conta quem falhou em Matemática, independentemente da Redação). -
é a quantidade eliminada em Redação (conta quem falhou em Redação, independentemente da Matemática). -
é a quantidade eliminada em ambas as disciplinas. -
é a quantidade eliminada em pelo menos uma das disciplinas (Matemática ou Redação).
O que queremos é
. Então primeiro precisamos achar
.
Passo 3
A ferramenta matemática que usamos aqui é o princípio da inclusão-exclusão para duas categorias. A fórmula é:
Explicando com palavras: quando somamos
quem caiu nas duas matérias foi contado duas vezes, por isso subtraímos
para ajustar e obter o total distinto
.
Rearranjando a fórmula para encontrar a interseção:
Passo 4
Agora substituo os números que o enunciado deu:
Faço as contas passo a passo:
portanto
(Observação: checo a soma inicial de novo para evitar erro de distração —
realmente é
.)
Passo 5
Com a interseção encontrada, calculo quantos foram eliminados apenas pela Redação:
Passo 6
Interpretação final:
candidatos foram eliminados apenas pela Redação, isto é, falharam em Redação mas passaram em Matemática. Bom trabalho — o método é sempre o mesmo: usar inclusão-exclusão pra achar a interseção e depois subtrair para obter “apenas” uma das categorias. Você consegue aplicar isso facilmente em provas, só não se confunda nas somas/subtrações!