e. No vestibular do ano passado exigia-se, dos candidatos à carreira de Administração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em Matemática e 76 candidatos foram eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219 . Qual o número de candidatos eliminados apenas pela Redação?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • O número de candidatos eliminados em Matemática é |M| = 175.
  • O número de candidatos eliminados em Redação é |R| = 76.
  • O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas (ou seja, eliminados em Matemática ou em Redação ou em ambas) é |M \cup R| = 219.
A pergunta é: qual o número de candidatos eliminados apenas pela Redação? Em outras palavras, queremos |R \setminus M| (candidatos que foram eliminados em Redação e não em Matemática).

Passo 2

Vou definir claramente as quantidades e a notação (tudo bem explicar devagarinho):
  • |M| é a quantidade eliminada em Matemática (conta quem falhou em Matemática, independentemente da Redação).
  • |R| é a quantidade eliminada em Redação (conta quem falhou em Redação, independentemente da Matemática).
  • |M \cap R| é a quantidade eliminada em ambas as disciplinas.
  • |M \cup R| é a quantidade eliminada em pelo menos uma das disciplinas (Matemática ou Redação).
O que queremos é |R \setminus M| = |R| - |M \cap R|. Então primeiro precisamos achar |M \cap R|.

Passo 3

A ferramenta matemática que usamos aqui é o princípio da inclusão-exclusão para duas categorias. A fórmula é:
|M \cup R| = |M| + |R| - |M \cap R|.
Explicando com palavras: quando somamos |M| + |R| quem caiu nas duas matérias foi contado duas vezes, por isso subtraímos |M \cap R| para ajustar e obter o total distinto |M \cup R|.
Rearranjando a fórmula para encontrar a interseção:
|M \cap R| = |M| + |R| - |M \cup R|.

Passo 4

Agora substituo os números que o enunciado deu:
|M \cap R| = 175 + 76 - 219.
Faço as contas passo a passo:
175 + 76 = 251,
portanto
|M \cap R| = 251 - 219 = 32.
(Observação: checo a soma inicial de novo para evitar erro de distração — 175+76 realmente é 251.)

Passo 5

Com a interseção encontrada, calculo quantos foram eliminados apenas pela Redação:
|R \setminus M| = |R| - |M \cap R| = 76 - 32 = 44.

Passo 6

Interpretação final: 44 candidatos foram eliminados apenas pela Redação, isto é, falharam em Redação mas passaram em Matemática. Bom trabalho — o método é sempre o mesmo: usar inclusão-exclusão pra achar a interseção e depois subtrair para obter “apenas” uma das categorias. Você consegue aplicar isso facilmente em provas, só não se confunda nas somas/subtrações!

Resposta

44

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