[2, Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
\int_{1}^{e} \int_{\ln x}^{x} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{1}^{e}\int_{\ln x}^{x} f(x,y)\,dy\,dx
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes dadas:
  • A variável externa x varia em [1,e].
  • Para cada x fixo, a variável y varia em [\ln x,\; x].
  • A função integranda é f(x,y) (não é necessário conhecer sua forma para inverter os limites).

Passo 2

Descrever a região de integração D no plano xy a partir das desigualdades dadas. A região é
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\\ \ln x\le y\le x\}.
Isso significa que D está limitada pelas curvas
y=\ln x\quad\text{(inferior)}\qquad\text{e}\qquad y=x\quad\text{(superior)}
no intervalo x\in[1,e].

Passo 3

Para inverter a ordem, vou expressar as mesmas condições isolando x em função de y. Começo escrevendo as desigualdades que definem D:
\ln x \le y \le x,\qquad 1\le x\le e.

Passo 4

Resolver \ln x \le y em termos de x. Aplicando a função exponencial (que é crescente) obtemos
\ln x \le y \quad\Longleftrightarrow\quad x \le e^{y}.
Resolver y \le x em termos de x dá simplesmente
y \le x \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge y.

Passo 5

Juntando tudo e lembrando da restrição 1\le x\le e, obtemos para um dado y que x deve satisfazer
\max(1,y)\le x\le\min(e,e^{y}).
Portanto, a existência de pontos com essa y exige \max(1,y)\le\min(e,e^{y}). Agora vamos achar os valores de y onde os extremos mudam de expressão.

Passo 6

Os pontos-chave são quando as expressões dentro dos \max e \min se cruzam:
  • 1 e y trocam papel em y=1.
  • e^{y} atinge e quando y=1 (pois e^{1}=e).
Assim, o valor crítico é y=1. Além disso, o menor valor possível de y na região é \ln 1=0 (quando x=1). O maior valor possível de y é x\le e, então y\le e. Portanto y varia em [0,e], mas as fórmulas dos limites de x mudam em y=1.

Passo 7

Tratar os dois intervalos em y:
  • Para 0\le y\le 1: tem-se \max(1,y)=1 e \min(e,e^{y})=e^{y} (porque e^{y}\le e). Logo, para tais y,
1\le x\le e^{y}.
  • Para 1\le y\le e: tem-se \max(1,y)=y e \min(e,e^{y})=e (porque e^{y}\ge e). Logo, para tais y,
y\le x\le e.

Passo 8

Escrever a integral com a ordem invertida como soma das integrais correspondentes aos dois trechos em y. Em cada trecho, integra-se primeiro em x com os limites encontrados e depois em y.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{1}^{e}\int_{y}^{e} f(x,y)\,dx\,dy

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