[2, Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A variável externa
varia em . - Para cada
fixo, a variável varia em . - A função integranda é
(não é necessário conhecer sua forma para inverter os limites).
Passo 2
Descrever a região de integração
no plano
a partir das desigualdades dadas. A região é
Isso significa que
está limitada pelas curvas
no intervalo
.
Passo 3
Para inverter a ordem, vou expressar as mesmas condições isolando
em função de
. Começo escrevendo as desigualdades que definem
:
Passo 4
Resolver
em termos de
. Aplicando a função exponencial (que é crescente) obtemos
Resolver
em termos de
dá simplesmente
Passo 5
Juntando tudo e lembrando da restrição
, obtemos para um dado
que
deve satisfazer
Portanto, a existência de pontos com essa
exige
. Agora vamos achar os valores de
onde os extremos mudam de expressão.
Passo 6
Os pontos-chave são quando as expressões dentro dos
e
se cruzam:
-
e trocam papel em . -
atinge quando (pois ).
Assim, o valor crítico é
. Além disso, o menor valor possível de
na região é
(quando
). O maior valor possível de
é
, então
. Portanto
varia em
, mas as fórmulas dos limites de
mudam em
.
Passo 7
Tratar os dois intervalos em
:
- Para
: tem-se e (porque ). Logo, para tais ,
- Para
: tem-se e (porque ). Logo, para tais ,
Passo 8
Escrever a integral com a ordem invertida como soma das integrais correspondentes aos dois trechos em
. Em cada trecho, integra-se primeiro em
com os limites encontrados e depois em
.